椭圆计算器

输入计算

半长轴 (a)

半短轴 (b)

结果

椭圆面积

47.12

平方单位

周长（拉马努金近似）	25.527
离心率	0.8
焦距 (c)	4

什么是椭圆计算器？

椭圆是一种封闭曲线：曲线上任意一点到两个固定点（即两个焦点）的距离之和保持恒定。本计算器只需输入椭圆的两个关键参数——半长轴 a（最长直径的一半）和半短轴 b（最短直径的一半），即可立即算出椭圆的面积、周长、离心率和焦距。

椭圆的结构：半长轴 a、半短轴 b、中心和焦点。

使用方法

填入半长轴 a 和半短轴 b，单位可以是厘米、米、英寸等，只要前后保持一致即可。点击「计算」，面积会以平方单位给出，周长和焦距则使用你输入的相同长度单位。即使你把两个数值的顺序填反了也没关系——计算器会自动把较大的数值当作长轴，因此离心率和焦距依然计算无误。

公式详解

椭圆的面积有精确公式：\(A = \pi\,a\,b\)。当 \(a = b\) 时，椭圆退化为圆，公式也就简化为 \(\pi r^{2}\)。周长没有简单的封闭表达式，因此我们采用拉马努金（Ramanujan）著名的近似公式 $$P \approx \pi\left[\,3(a+b)-\sqrt{(3a+b)(a+3b)}\,\right]$$ 对于常见形状，其误差小于千万分之一，精度极高。离心率 \(e = \sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}}\) 描述椭圆被拉伸的程度：0 表示完美的圆形，数值越接近 1，椭圆就越扁。焦距 \(c = \sqrt{a^{2}-b^{2}}\) 表示从中心到每个焦点的距离。

焦点到中心的距离为 c，其中 \(c = \sqrt{a^{2}-b^{2}}\)。

计算实例

设 \(a = 5\)，\(b = 3\)：面积 $$A = \pi\cdot 5\cdot 3 = 15\pi \approx 47.12 \text{ 平方单位}$$ 周长 $$P \approx \pi\left[3(8) - \sqrt{18\cdot 14}\right] = \pi\left[24 - \sqrt{252}\right] \approx \pi\cdot 8.124 \approx 25.527 \text{ 单位}$$ 离心率 $$e = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{0.64} = 0.8$$ 焦距 $$c = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$$

常见问题

该用什么单位？任意单位都可以——只要 \(a\) 和 \(b\) 使用相同的单位即可，算出的面积会是该单位的平方。

为什么周长是近似值？椭圆的真实周长需要用椭圆积分来表示，而椭圆积分没有初等的封闭表达式。拉马努金公式是一种计算极快、精度极高的近似方法。

离心率为 0 代表什么？离心率为 0 意味着 \(a = b\)，此时椭圆其实就是一个圆。