Elips Hesaplama Aracı Nedir?
Elips, üzerindeki herhangi bir noktanın iki sabit noktaya (odaklara) olan uzaklıklarının toplamı sabit olan kapalı bir eğridir. Bu hesaplama aracı, bir elipsi tanımlayan iki temel ölçüyü — yarı büyük eksen a (en uzun çapın yarısı) ve yarı küçük eksen b (en kısa çapın yarısı) — alır ve size anında alanı, çevreyi, dışmerkezliği ve odak uzaklığını verir.
Nasıl Kullanılır?
Yarı büyük eksen a ile yarı küçük eksen b değerlerini birbirleriyle tutarlı herhangi bir birimde (cm, m, inç vb.) girin. Ardından hesapla düğmesine basın. Alan, kullandığınız birimin karesi cinsinden; çevre ve odak uzaklığı ise girdiğiniz uzunluk birimiyle aynı cinsten çıkar. Değerleri yanlış sırayla girseniz bile dışmerkezlik ve odak uzaklığı doğru hesaplanır; çünkü araç büyük olan değeri otomatik olarak ana eksen kabul eder.
Formüller ve Açıklamaları
Bir elipsin alanı tam olarak hesaplanır: $$A = \pi\,a\,b$$ a = b olduğunda elips bir çembere dönüşür ve formül \(\pi r^{2}\) hâlini alır. Çevrenin basit bir kapalı formülü yoktur; bu yüzden Ramanujan'ın ünlü yaklaşımını kullanırız: $$P \approx \pi\left[\,3(a+b)-\sqrt{(3a+b)(a+3b)}\,\right]$$ Bu yaklaşım, sıradan şekiller için on milyonda birden daha küçük bir hata payıyla son derece isabetlidir. Dışmerkezlik $$e = \sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}}$$ elipsin ne kadar basık olduğunu gösterir: 0 değeri kusursuz bir çember anlamına gelirken, 1'e yaklaşan değerler giderek daha yassılaşmış bir şekli ifade eder. Odak uzaklığı \(c = \sqrt{a^{2}-b^{2}}\) ise merkezden her bir odağa olan mesafeyi verir.
Örnek Çözüm
a = 5 ve b = 3 için: Alan $$= \pi\cdot 5\cdot 3 = 15\pi \approx 47{,}12 \text{ birim kare}$$ Çevre $$\approx \pi\left[3(8) - \sqrt{18\cdot 14}\right] = \pi\left[24 - \sqrt{252}\right] \approx \pi\cdot 8{,}124 \approx 25{,}527 \text{ birim}$$ Dışmerkezlik $$= \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{0{,}64} = 0{,}8$$ Odak uzaklığı $$= \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$$
Sıkça Sorulan Sorular
Hangi birimleri kullanır? İstediğiniz herhangi bir birimi kullanabilirsiniz — yeter ki a ve b aynı birimde olsun; alan, o birimin karesi cinsinden verilir.
Çevre neden yaklaşık olarak hesaplanıyor? Elipsin gerçek çevresi, temel bir kapalı formülü bulunmayan eliptik bir integral gerektirir. Ramanujan'ın formülü ise son derece isabetli ve hızlı bir yaklaşımdır.
Dışmerkezliğin 0 olması ne anlama gelir? Dışmerkezliğin 0 olması a = b demektir; yani elips aslında bir çemberdir.
