타원의 초점 계산기

계산 입력

반축 a

반축 b

중심 h (x)

중심 k (y)

결과

초점 거리 (c)

4

중심에서 각 초점까지의 단위 거리

초점 1	(-4, 0)
초점 2	(4, 0)
이심률	0.8

이 계산기의 기능

타원에는 초점(焦點)이라 불리는 두 개의 특별한 내부 점이 있습니다. 타원 위의 어느 점에서든 두 초점까지의 거리의 합은 항상 일정합니다. 이 계산기는 타원의 반축 a와 b, 그리고 중심 (h, k)를 바탕으로 두 초점을 구하고, 초점 거리 c와 이심률까지 함께 알려줍니다.

사용 방법

장반축과 단반축의 길이(a와 b), 그리고 중심 좌표(h, k)를 입력하세요. 어느 축이 더 긴지는 계산기가 자동으로 판별합니다. \(a \ge b\)이면 장축이 가로 방향이며 초점은 \((h \pm c,\ k)\)에 놓이고, 그렇지 않으면 장축이 세로 방향이며 초점은 \((h,\ k \pm c)\)에 놓입니다. 중심을 비워 두면 원점 (0, 0)으로 자동 설정됩니다.

공식 풀이

초점 거리는 다음으로 구합니다.

$$c = \sqrt{\left|\,a^{2} - b^{2}\,\right|}$$

절댓값을 사용하므로 두 축을 어떤 순서로 입력해도 괜찮으며, 결과는 항상 실수이면서 음수가 아닌 값이 됩니다. 두 반축 중 더 큰 쪽이 장반축이고, 초점은 항상 장축 위에서 중심으로부터 같은 거리만큼 떨어진 곳에 위치합니다. 이심률은 \(e = c / (\text{장반축})\)으로 계산하며, 0(완전한 원)에서 1(매우 길쭉한 타원)에 가까워지는 범위를 가집니다.

초점은 장축 위, 중심에서 거리 c인 곳에 있으며, \(c = \sqrt{\left|\,a^{2} - b^{2}\,\right|}\) 입니다.

계산 예시

a = 5, b = 3이고 원점을 중심으로 하는 타원의 경우:

$$c = \sqrt{\left|\,25 - 9\,\right|} = \sqrt{16} = 4$$

\(a > b\)이므로 장축은 가로 방향이며, 따라서 초점은 (−4, 0)과 (4, 0)에 위치합니다. 이심률은 \(4 / 5 = 0.8\)입니다.

풀이 예제: a와 b를 공식에 대입하면 각 초점의 위치를 구할 수 있습니다.

자주 묻는 질문

a와 b가 같으면 어떻게 되나요? 이 경우 \(c = 0\)이 되어 두 초점이 모두 중심으로 모이게 됩니다. 즉, 이 타원은 원이 됩니다.

입력 순서가 중요한가요? 아니요. 계산기는 두 값의 차이의 절댓값을 사용하고 더 큰 축을 장축으로 잡기 때문에, a와 b를 바꿔 넣으면 초점의 방향만 달라질 뿐입니다.

이심률이란 무엇인가요? 타원이 얼마나 "길쭉한지"를 나타내는 척도입니다. 값이 0에 가까우면 거의 원에 가깝고, 1에 가까울수록 매우 길게 늘어난 모양입니다.