什麼是模冪運算？
模冪運算用來計算 \(a^{b} \bmod m\)，也就是把次方數 \(a^{b}\) 除以模數 m 之後所剩下的餘數。它是數論與密碼學中最重要的運算之一，支撐著 RSA、Diffie–Hellman 金鑰交換以及數位簽章等演算法。即使 \(a^{b}\) 本身大到天文數字，取模 m 之後的結果仍然很小，而且可以快速算出。
如何使用這個計算機
請輸入三個整數：底數 a、非負的指數 b，以及模數 m（一個正整數）。按下計算後，您會得到一個落在 0 到 m−1 之間的餘數。底數允許為負數；系統會先把它換算成有效的餘數範圍，再進行冪次運算。
公式原理說明
當 b 很大時，直接算出 \(a^{b}\) 是不可能的，因此本工具採用 平方-乘法（又稱快速冪或二進位冪）演算法。其核心公式為：
$$\text{result} = \text{Base } a^{\text{Exponent } b} \bmod \text{Modulus } m$$指數會以二進位的形式逐位讀取：先設定結果 \(r = 1\)，並把底數對 m 取模；接著針對指數的每一個位元，把底數平方（mod m），只要當前位元為 1，就把結果再乘上底數（mod m）。如此一來，只需大約 \(\log_2(b)\) 次乘法，而非高達 b 次。
實例演算
計算 \(4^{13} \bmod 497\)。指數 13 換成二進位是 1101。依照平方-乘法逐步推算：\(4^1 = 4\)，\(4^2 = 16\)，\(4^4 = 256\)，\(4^8 = 256^2 = 65536 \equiv 30 \pmod{497}\)。因為 \(13 = 8 + 4 + 1\)，所以把對應的各次方相乘：
$$30 \times 256 \times 4 = 30720 \equiv 445 \pmod{497}$$因此 \(4^{13} \bmod 497 = \) 445。
常見問題
如果指數是 0 會怎樣？ 任何數的 0 次方都是 1，所以結果是 1 mod m（當 m = 1 時則為 0）。
底數可以是負數嗎？ 可以。負底數會先被換算成等價的正餘數（mod m），因此答案永遠介於 0 到 m−1 之間。
為什麼不乾脆先算 \(a^{b}\) 再取模？ 在密碼學等級的數字規模下，\(a^{b}\) 會有數百萬位數。每一步都先對 m 取模，可以讓數字維持很小，運算也更快速。
