什麼是模運算計算機？
模運算又稱「時鐘運算」：當數字達到固定的模數 \(n\) 後就會循環歸零。這個計算機會計算 \((a \text{ op } b) \bmod n\) 形式的算式，其中運算可以是加法、減法、乘法，或單純把一個數 \(a\) 對 \(n\) 取模。計算結果一律回傳最小非負餘數，也就是介於 0 到 \(n - 1\) 之間的數字。
如何使用
先輸入 \(a\) 的值，選擇運算方式，再填入 \(b\)（選「僅取模」時會忽略 \(b\)），最後設定模數 \(n\)。計算機會先算出原始算式的值，再對 \(n\) 取模。負數結果會被轉換到標準的 \(0 \ldots n-1\) 範圍內，因此 \(-1 \bmod 12\) 會得到 11，而不是 \(-1\)。
公式說明
核心關係式為 $$r = (a \text{ op } b) \bmod n.$$ 由於程式語言中的取餘運算可能產生負值，我們改用歐幾里得形式 $$r = ((x \bmod n) + n) \bmod n,$$ 以確保結果必為非負。這與數論、密碼學與雜湊運算中採用的數學慣例完全一致。
範例演算
假設 \(a = 17\)、運算為加法、\(b = 25\)、\(n = 12\)。先計算 $$17 + 25 = 42,$$ 接著求 \(42 \bmod 12\)：因為 \(42 = 3 \times 12 + 6\)，所以餘數為 6。換句話說，在 12 小時制的時鐘上，17 + 25「小時」會落在第 6 個位置。
常見問題
「mod」是什麼意思？它代表除法後的餘數。例如 \(13 \bmod 5 = 3\)，因為 \(13 = 2 \times 5 + 3\)。
為什麼我輸入的負數變成正數了？因為我們回傳的是最小非負餘數。例如 \(-7 \bmod 5 = 3\)，因為加上兩個 5（\(-7 + 10 = 3\)）後就落在 \(0 \ldots 4\) 的範圍內。
如果 \(n = 1\) 會怎樣？任何整數對 1 取模都同餘於 0，所以結果永遠是 0。
