모듈러 연산 계산기란?
모듈러 연산은 흔히 '시계 산술'이라고 불립니다. 숫자가 정해진 법(法) n에 도달하면 다시 처음으로 돌아가며 순환하기 때문입니다. 이 계산기는 \((a\ op\ b)\bmod n\) 형태의 식을 계산하며, 연산은 덧셈, 뺄셈, 곱셈은 물론 하나의 값 a를 단순히 n으로 나눈 나머지를 구하는 것까지 지원합니다. 결과는 항상 0부터 \(n - 1\) 사이의 최소 음이 아닌 잉여(least non-negative residue)로 반환됩니다.
사용 방법
a 값을 입력하고 연산을 선택한 뒤 b 값을 넣고('나머지만' 선택 시 b는 무시됩니다) 법 n을 지정하세요. 계산기는 먼저 원래 식의 값을 구한 다음, 그 결과를 n으로 나눈 나머지로 변환합니다. 음수 결과는 0…n−1 범위로 자동 변환되므로, −1 mod 12는 −1이 아니라 11을 반환합니다.
공식 풀이
핵심 관계식은 \(r = (a\ op\ b)\bmod n\)입니다. 프로그래밍에서 쓰는 나머지 연산은 음수가 나올 수 있기 때문에, 이 계산기는 유클리드 방식인 다음 식을 사용해 항상 음이 아닌 결과를 보장합니다.
$$r = ((x \bmod n) + n) \bmod n$$
이는 정수론, 암호학, 해싱 분야에서 표준으로 쓰는 수학적 관례와 일치합니다.
예제로 살펴보기
a = 17, 연산은 덧셈, b = 25, n = 12라고 가정해 봅시다. 먼저 \(17 + 25 = 42\)를 계산합니다. 그다음 \(42 \bmod 12\)를 구하면, \(42 = 3 \times 12 + 6\)이므로 나머지는 6입니다. 12시간제 시계에서 17 + 25 '시간'은 결국 6의 위치에 도달합니다.
자주 묻는 질문
'mod'는 무슨 뜻인가요? 나눗셈을 한 뒤의 나머지를 의미합니다. \(13 = 2 \times 5 + 3\)이므로 \(13 \bmod 5 = 3\)입니다.
음수가 왜 양수로 바뀌나요? 이 계산기는 최소 음이 아닌 잉여를 반환하기 때문입니다. 예를 들어 \(-7 \bmod 5 = 3\)인데, 5를 두 번 더하면(\(-7 + 10 = 3\)) 0…4 범위 안으로 들어오기 때문입니다.
n = 1이면 어떻게 되나요? 모든 정수는 1을 법으로 할 때 0과 합동이므로, 결과는 언제나 0입니다.
