मॉड्यूलर अंकगणित कैलकुलेटर क्या है?
मॉड्यूलर अंकगणित को "घड़ी का अंकगणित" भी कहा जाता है: किसी निश्चित मॉड्यूलस n तक पहुँचने के बाद संख्याएँ फिर से शुरू से घूम जाती हैं। यह कैलकुलेटर \((\text{a} \mathbin{op} \text{b}) \bmod \text{n}\) रूप वाले व्यंजक का मान निकालता है, जहाँ संक्रिया जोड़, घटाव, गुणा या किसी एक संख्या a को n से मॉड्यूलो में घटाना हो सकती है। यह हमेशा सबसे छोटा अऋणात्मक शेष लौटाता है, यानी 0 और n − 1 के बीच की एक संख्या।
इसका उपयोग कैसे करें
a के लिए कोई मान दर्ज करें, एक संक्रिया चुनें, b भरें (जो "केवल मॉड्यूलो" चुनने पर नज़रअंदाज़ कर दिया जाता है) और मॉड्यूलस n सेट करें। कैलकुलेटर पहले मूल व्यंजक की गणना करता है और फिर उसे n से मॉड्यूलो में घटा देता है। ऋणात्मक परिणामों को मानक 0…n−1 की सीमा में बदल दिया जाता है, इसलिए \(-1 \bmod 12\) का उत्तर −1 के बजाय 11 आता है।
सूत्र की व्याख्या
इसका मूल संबंध है \(r = (\text{a} \mathbin{op} \text{b}) \bmod \text{n}\)। चूँकि प्रोग्रामिंग शैली में निकाला गया शेष ऋणात्मक हो सकता है, इसलिए हम अऋणात्मक उत्तर की गारंटी के लिए यूक्लिडीय रूप $$r = ((x \bmod \text{n}) + \text{n}) \bmod \text{n}$$ का उपयोग करते हैं। यह वही गणितीय परंपरा है जो संख्या सिद्धांत, क्रिप्टोग्राफी और हैशिंग में अपनाई जाती है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए a = 17, संक्रिया जोड़ है, b = 25 और n = 12। पहले \(17 + 25 = 42\) निकालें। अब \(42 \bmod 12\): $$42 = 3 \times 12 + 6$$ इसलिए शेष 6 है। 12 घंटे वाली घड़ी पर 17 + 25 "घंटे" जोड़ने पर सुई 6 की स्थिति पर आ जाती है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
"mod" का क्या अर्थ है? यह भाग देने के बाद बचा हुआ शेष लौटाता है। \(13 \bmod 5 = 3\), क्योंकि \(13 = 2 \times 5 + 3\)।
मेरी ऋणात्मक संख्या धनात्मक क्यों बन गई? हम सबसे छोटा अऋणात्मक शेष लौटाते हैं। उदाहरण के लिए \(-7 \bmod 5 = 3\), क्योंकि दो बार 5 जोड़ने पर (\(-7 + 10 = 3\)) उत्तर 0…4 की सीमा में आ जाता है।
अगर n = 1 हो तो? हर पूर्णांक मॉड्यूलो 1 के तहत 0 के सर्वांगसम होता है, इसलिए परिणाम हमेशा 0 ही रहता है।
