यह कैलकुलेटर क्या करता है
दीर्घवृत्त का केंद्र कैलकुलेटर किसी दीर्घवृत्त के दो आमने-सामने (व्यासतः विपरीत) सिरों से उसका केंद्र बिंदु \((h, k)\) निकालता है — जैसे दो शीर्ष (दीर्घ अक्ष के दोनों सिरे) या दो सह-शीर्ष (लघु अक्ष के दोनों सिरे)। चूँकि केंद्र हमेशा किसी भी विपरीत बिंदु-जोड़ी के ठीक बीचों-बीच होता है, इसलिए यह बस आपके दर्ज किए गए दो निर्देशांकों का मध्यबिंदु ही है।
इसका उपयोग कैसे करें
दीर्घवृत्त के दो विपरीत सिरों के \((x, y)\) निर्देशांक दर्ज करें — उदाहरण के लिए, सबसे बाएँ और सबसे दाएँ शीर्ष, या सबसे ऊपर और सबसे नीचे वाले सह-शीर्ष। "गणना करें" पर क्लिक करते ही कैलकुलेटर केंद्र \((h, k)\) बता देगा। चाहे दीर्घवृत्त चौड़ाई में अधिक हो या ऊँचाई में, यही मध्यबिंदु वाली तर्कसंगति हर स्थिति में काम करती है।
सूत्र की व्याख्या
मध्यबिंदु सूत्र हर निर्देशांक का अलग-अलग औसत निकालता है:
$$(h, k) = \left( \frac{x_1 + x_2}{2},\ \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$$\(h = (x_1 + x_2) / 2\) और \(k = (y_1 + y_2) / 2\)।
यही \((h, k)\) दीर्घवृत्त के मानक समीकरण \(\frac{(x - h)^2}{a^2} + \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1\) में भी दिखाई देता है। केंद्र पता चलने के बाद आप अर्ध-अक्ष \(a\) और \(b\) को केंद्र से शीर्षों और सह-शीर्षों तक की दूरी के रूप में माप सकते हैं।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए शीर्ष \((-4, 2)\) और \((6, 8)\) पर हैं। तब $$h = \frac{-4 + 6}{2} = 1 \quad \text{और} \quad k = \frac{2 + 8}{2} = 5,$$ अर्थात केंद्र है \((1, 5)\)।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
क्या दोनों बिंदुओं का शीर्ष होना ज़रूरी है? नहीं — कोई भी दो विपरीत बिंदु चल सकते हैं, बशर्ते वे केंद्र से गुज़रने वाले एक ही अक्ष के दोनों विपरीत सिरों पर हों।
क्या मैं शीर्षों की जगह सह-शीर्ष इस्तेमाल कर सकता हूँ? हाँ। दोनों सह-शीर्षों का मध्यबिंदु वही केंद्र देगा जो दोनों शीर्षों का मध्यबिंदु देता है।
अगर मेरा दीर्घवृत्त समीकरण पहले से मानक रूप में है तो? तब केंद्र सीधे पढ़ा जा सकता है: \(\frac{(x - h)^2}{a^2} + \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1\) का केंद्र \((h, k)\) होता है; कोई गणना की ज़रूरत नहीं।
