त्रिभुज का केंद्रक क्या होता है?
केंद्रक (जिसे अक्सर G से दर्शाया जाता है) वह बिंदु है जहाँ त्रिभुज की तीनों माध्यिकाएँ (medians) आपस में मिलती हैं। माध्यिका वह रेखा होती है जो किसी शीर्ष को उसके सामने वाली भुजा के मध्य-बिंदु से जोड़ती है। केंद्रक त्रिभुज का द्रव्यमान केंद्र या संतुलन बिंदु भी कहलाता है — एक समान मोटाई वाली त्रिभुजाकार प्लेट को अगर ठीक G पर एक पिन पर टिकाया जाए तो वह बिल्कुल संतुलित रहेगी। यह बिंदु हमेशा त्रिभुज के अंदर ही होता है और प्रत्येक माध्यिका को शीर्ष से नापने पर 2:1 के अनुपात में बाँटता है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
तीनों कोनों — शीर्ष A, शीर्ष B और शीर्ष C — के (x, y) निर्देशांक किसी भी क्रम में दर्ज करें। कैलकुलेटर तुरंत केंद्रक के निर्देशांक दिखा देगा। निर्देशांक ऋणात्मक, दशमलव या शून्य कुछ भी हो सकते हैं, और शीर्षों को किस क्रम में डाला गया है इससे परिणाम पर कोई फर्क नहीं पड़ता।
सूत्र को समझें
केंद्रक निकालना बेहद आसान है — यह बस तीनों शीर्षों का औसत होता है:
$$\left( C_x, C_y \right) = \left( \frac{\text{x}_1 + \text{x}_2 + \text{x}_3}{3},\ \frac{\text{y}_1 + \text{y}_2 + \text{y}_3}{3} \right)$$
तीनों x-मानों को जोड़कर 3 से भाग दीजिए — यही केंद्रक का x-निर्देशांक है। फिर यही तरीका y-मानों के साथ दोहराइए। इसमें न तो वर्गमूल लगता है और न ही त्रिकोणमिति की ज़रूरत पड़ती है।
हल किया गया उदाहरण
मान लीजिए एक त्रिभुज है जिसके शीर्ष A(0, 0), B(6, 0) और C(3, 6) हैं।
$$G_x = (0 + 6 + 3) / 3 = 9 / 3 = 3$$
$$G_y = (0 + 0 + 6) / 3 = 6 / 3 = 2$$
तो इस त्रिभुज का केंद्रक (3, 2) पर होगा।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
क्या केंद्रक और परिकेंद्र (circumcenter) या अंतःकेंद्र (incenter) एक ही होते हैं? नहीं। केंद्रक तीनों शीर्षों का औसत होता है। परिकेंद्र (परिवृत्त का केंद्र) और अंतःकेंद्र (अंतःवृत्त का केंद्र) आम तौर पर अलग-अलग बिंदु होते हैं — सिवाय समबाहु त्रिभुज के, जहाँ ये सभी एक ही जगह पर मिल जाते हैं।
क्या केंद्रक त्रिभुज के बाहर हो सकता है? कभी नहीं। किसी भी त्रिभुज का केंद्रक हमेशा उसके अंदर ही रहता है।
क्या शीर्षों को डालने का क्रम मायने रखता है? नहीं। चूँकि जोड़ने का क्रम बदलने से योग नहीं बदलता, इसलिए शीर्षों को आगे-पीछे करने पर भी केंद्रक वही रहेगा।
