परिकेंद्र क्या होता है?
किसी त्रिभुज का परिकेंद्र वह अनोखा बिंदु है जो उसके तीनों शीर्षों से समान दूरी पर होता है। यह परिवृत्त (circumcircle) का केंद्र होता है — वह वृत्त जो त्रिभुज के हर शीर्ष से होकर गुज़रता है। ज्यामितीय दृष्टि से, परिकेंद्र त्रिभुज की तीनों भुजाओं के लंब समद्विभाजकों के कटान बिंदु पर स्थित होता है। यह कैलकुलेटर तीनों शीर्षों के निर्देशांकों से सीधे परिकेंद्र निकालता है और साथ ही परित्रिज्या भी बताता है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
त्रिभुज के तीनों शीर्षों के (x, y) निर्देशांक दर्ज करें: \((x_1, y_1)\), \((x_2, y_2)\) और \((x_3, y_3)\)। यह उपकरण आपको परिकेंद्र के निर्देशांक \((U_x, U_y)\) और परित्रिज्या (परिकेंद्र से किसी भी शीर्ष तक की दूरी) देता है। अगर तीनों बिंदु एक सीधी रेखा पर हों, तो कोई परिमित परिकेंद्र नहीं बनता और कैलकुलेटर बता देता है कि बिंदु संरेखीय (collinear) हैं।
सूत्र की समझ
सबसे पहले \(D = 2[x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)]\) निकालिए। यह राशि चिह्नित क्षेत्रफल निर्धारक की दोगुनी होती है; यदि \(D = 0\) हो तो बिंदु संरेखीय हैं। हर शीर्ष की मूल बिंदु से वर्ग-दूरी \(s_i = x_i^2 + y_i^2\) का उपयोग करते हुए, परिकेंद्र इस प्रकार मिलता है:
$$U_x = \frac{s_1(y_2-y_3) + s_2(y_3-y_1) + s_3(y_1-y_2)}{D}, \qquad U_y = \frac{s_1(x_3-x_2) + s_2(x_1-x_3) + s_3(x_2-x_1)}{D}$$इसके बाद परित्रिज्या \(R\), \((U_x, U_y)\) से किसी भी शीर्ष तक की यूक्लिडीय दूरी होती है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए एक समकोण त्रिभुज है जिसके शीर्ष (0, 0), (4, 0) और (0, 3) हैं। तब \(D = 2[0\cdot(0-3) + 4\cdot(3-0) + 0\cdot(0-0)] = 2\cdot12 = 24\)। \(s_1 = 0\), \(s_2 = 16\), \(s_3 = 9\) के साथ:
$$U_x = \frac{0 + 16\cdot3 + 9\cdot0}{24} = \frac{48}{24} = 2, \qquad U_y = \frac{0 + 16\cdot0 + 9\cdot(-4)}{24} = \frac{-36}{24} = 1.5$$परित्रिज्या \(\sqrt{2^2 + 1.5^2} = \sqrt{6.25} = 2.5\) होती है, जो ठीक कर्ण की आधी है — जैसा कि समकोण त्रिभुज में अपेक्षित होता है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
क्या परिकेंद्र त्रिभुज के बाहर हो सकता है? हाँ। अधिककोण (obtuse) त्रिभुजों में परिकेंद्र त्रिभुज के बाहर होता है; समकोण त्रिभुजों में यह कर्ण के मध्यबिंदु पर होता है; और न्यूनकोण (acute) त्रिभुजों में यह त्रिभुज के अंदर होता है।
अगर मेरे बिंदु संरेखीय हों तो? तीन संरेखीय बिंदु किसी एक परिमित वृत्त पर नहीं हो सकते, इसलिए परिकेंद्र अपरिभाषित रहता है और कैलकुलेटर इस स्थिति को दर्शा देता है।
क्या शीर्षों का क्रम मायने रखता है? नहीं। परिणाम इस बात से स्वतंत्र होता है कि आप तीनों बिंदु किस क्रम में दर्ज करते हैं।
