외심이란?
삼각형의 외심은 세 꼭짓점에서 모두 같은 거리에 있는 단 하나의 점입니다. 세 꼭짓점을 모두 지나는 원, 즉 외접원의 중심이 바로 외심입니다. 기하학적으로 외심은 삼각형 세 변의 수직이등분선이 만나는 교점에 위치합니다. 이 계산기는 세 꼭짓점의 좌표만 입력하면 외심을 바로 구해 주고, 외접원의 반지름까지 함께 알려 줍니다.
계산기 사용 방법
삼각형 세 꼭짓점의 (x, y) 좌표, 즉 \((x_1, y_1)\), \((x_2, y_2)\), \((x_3, y_3)\)를 입력하세요. 그러면 외심 좌표 \((U_x, U_y)\)와 외접원 반지름(외심에서 임의의 꼭짓점까지의 거리)을 계산해 줍니다. 만약 세 점이 한 직선 위에 놓여 있다면 유한한 외심이 존재하지 않으며, 이 경우 계산기는 세 점이 일직선 상에 있다고 알려 줍니다.
공식 풀이
먼저 \(D = 2[\text{x}_1(\text{y}_2-\text{y}_3) + \text{x}_2(\text{y}_3-\text{y}_1) + \text{x}_3(\text{y}_1-\text{y}_2)]\) 를 구합니다. 이 값은 부호 있는 넓이 행렬식의 2배에 해당하며, \(D = 0\)이면 세 점이 일직선 위에 있다는 뜻입니다. 각 꼭짓점의 원점으로부터의 거리 제곱을 \(s_i = \text{x}_i^2 + \text{y}_i^2\) 라 하면, 외심은 다음과 같이 구해집니다.
$$U_x = \frac{s_1(y_2-y_3) + s_2(y_3-y_1) + s_3(y_1-y_2)}{D}, \qquad U_y = \frac{s_1(x_3-x_2) + s_2(x_1-x_3) + s_3(x_2-x_1)}{D}$$외접원 반지름 \(R\)은 \((U_x, U_y)\)에서 임의의 꼭짓점까지의 유클리드 거리입니다.
$$R = \sqrt{(U_x-\text{x}_1)^2 + (U_y-\text{y}_1)^2}$$
예제로 풀어보기
꼭짓점이 (0, 0), (4, 0), (0, 3)인 직각삼각형을 생각해 봅시다. 그러면 \(D = 2[0\cdot(0-3) + 4\cdot(3-0) + 0\cdot(0-0)] = 2\cdot12 = 24\) 입니다. \(s_1 = 0\), \(s_2 = 16\), \(s_3 = 9\) 이므로 \(U_x = (0 + 16\cdot3 + 9\cdot0)/24 = 48/24 = 2\), \(U_y = (0 + 16\cdot0 + 9\cdot(-4))/24 = -36/24 = 1.5\) 가 됩니다. 외접원 반지름은 \(\sqrt{2^2 + 1.5^2} = \sqrt{6.25} = 2.5\) 로, 직각삼각형에서 기대할 수 있듯이 빗변 길이의 정확히 절반이 됩니다.
자주 묻는 질문
외심이 삼각형 바깥에 생길 수도 있나요? 그렇습니다. 둔각삼각형에서는 외심이 삼각형 바깥에 위치하고, 직각삼각형에서는 빗변의 중점에 놓이며, 예각삼각형에서는 삼각형 안쪽에 위치합니다.
세 점이 일직선 위에 있으면 어떻게 되나요? 일직선 위에 있는 세 점은 하나의 유한한 원 위에 놓일 수 없으므로 외심이 정의되지 않으며, 계산기가 이 경우를 표시해 줍니다.
꼭짓점을 입력하는 순서가 결과에 영향을 주나요? 아니요. 세 점을 어떤 순서로 입력하든 결과는 동일합니다.
