Qu'est-ce que le centre du cercle circonscrit ?
Le centre du cercle circonscrit d'un triangle est l'unique point situé à égale distance des trois sommets. C'est le centre du cercle circonscrit, c'est-à-dire le cercle qui passe par chacun des sommets. Géométriquement, ce point se trouve à l'intersection des trois médiatrices des côtés du triangle. Ce calculateur le détermine directement à partir des coordonnées des trois sommets et fournit également le rayon du cercle circonscrit.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez les coordonnées (x, y) des trois sommets du triangle : \((x_1, y_1)\), \((x_2, y_2)\) et \((x_3, y_3)\). L'outil renvoie les coordonnées du centre \((U_x, U_y)\) ainsi que le rayon du cercle circonscrit (la distance entre ce centre et n'importe quel sommet). Si les trois points sont alignés, aucun centre fini n'existe : le calculateur indique alors que les points sont colinéaires.
La formule expliquée
On commence par calculer $$D = 2[x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)].$$ Cette quantité correspond au double du déterminant de l'aire signée ; si \(D = 0\), les points sont alignés. En notant \(s_i = x_i^2 + y_i^2\) le carré de la distance de chaque sommet à l'origine, les coordonnées du centre s'obtiennent ainsi : $$U_x = \frac{s_1(y_2-y_3) + s_2(y_3-y_1) + s_3(y_1-y_2)}{D}, \qquad U_y = \frac{s_1(x_3-x_2) + s_2(x_1-x_3) + s_3(x_2-x_1)}{D}.$$ Le rayon \(R\) correspond ensuite à la distance euclidienne entre \((U_x, U_y)\) et l'un quelconque des sommets.
Exemple détaillé
Prenons un triangle rectangle dont les sommets sont \((0, 0)\), \((4, 0)\) et \((0, 3)\). On obtient $$D = 2[0\cdot(0-3) + 4\cdot(3-0) + 0\cdot(0-0)] = 2\cdot 12 = 24.$$ Avec \(s_1 = 0\), \(s_2 = 16\) et \(s_3 = 9\) : $$U_x = \frac{0 + 16\cdot 3 + 9\cdot 0}{24} = \frac{48}{24} = 2,$$ et $$U_y = \frac{0 + 16\cdot 0 + 9\cdot(-4)}{24} = \frac{-36}{24} = 1{,}5.$$ Le rayon du cercle circonscrit vaut \(\sqrt{2^2 + 1{,}5^2} = \sqrt{6{,}25} = 2{,}5\), soit exactement la moitié de l'hypoténuse — comme attendu pour un triangle rectangle.
Questions fréquentes
Le centre du cercle circonscrit peut-il se trouver à l'extérieur du triangle ? Oui. Pour un triangle obtus, il se situe à l'extérieur ; pour un triangle rectangle, il se trouve au milieu de l'hypoténuse ; pour un triangle acutangle, il est à l'intérieur.
Que se passe-t-il si mes points sont alignés ? Trois points colinéaires ne peuvent pas appartenir à un même cercle fini : le centre du cercle circonscrit n'est alors pas défini, et le calculateur le signale.
L'ordre des sommets a-t-il une importance ? Non. Le résultat est indépendant de l'ordre dans lequel vous saisissez les trois points.
