什么是外心？
三角形的外心是唯一一个到三个顶点距离都相等的点，也就是外接圆（经过三角形全部顶点的圆）的圆心。从几何角度看，外心正好位于三条边的垂直平分线的交点上。本计算器可直接根据三个顶点的坐标求出外心，并同时给出外接圆半径。
如何使用本计算器
分别输入三角形三个顶点的 (x, y) 坐标：(x₁, y₁)、(x₂, y₂) 和 (x₃, y₃)。工具会返回外心坐标 (Ux, Uy) 以及外接圆半径（即外心到任意一个顶点的距离）。如果三个点恰好在同一条直线上，就不存在有限的外心，此时计算器会提示这三点共线。
公式详解
首先计算 $$D = 2\left[x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)\right].$$ 这个值等于带符号面积行列式的两倍；若 \(D = 0\)，则说明三点共线。再用每个顶点到原点的距离平方 \(s_i = x_i^2 + y_i^2\)，外心坐标为 $$U_x = \frac{s_1(y_2-y_3) + s_2(y_3-y_1) + s_3(y_1-y_2)}{D}, \qquad U_y = \frac{s_1(x_3-x_2) + s_2(x_1-x_3) + s_3(x_2-x_1)}{D}.$$ 外接圆半径 \(R\) 则是 \((U_x, U_y)\) 到任意一个顶点的欧氏距离。
实例演算
以顶点为 (0, 0)、(4, 0) 和 (0, 3) 的直角三角形为例。则 $$D = 2\left[0\cdot(0-3) + 4\cdot(3-0) + 0\cdot(0-0)\right] = 2\cdot 12 = 24.$$ 代入 \(s_1 = 0\)、\(s_2 = 16\)、\(s_3 = 9\)：$$U_x = \frac{0 + 16\cdot 3 + 9\cdot 0}{24} = \frac{48}{24} = 2, \qquad U_y = \frac{0 + 16\cdot 0 + 9\cdot(-4)}{24} = \frac{-36}{24} = 1.5.$$ 外接圆半径为 $$\sqrt{2^2 + 1.5^2} = \sqrt{6.25} = 2.5,$$ 恰好是斜边的一半——这正符合直角三角形的特性。
常见问题
外心可能落在三角形外面吗？可以。对于钝角三角形，外心位于三角形之外；对于直角三角形，外心正好在斜边的中点；对于锐角三角形，外心则在三角形内部。
如果三点共线怎么办？三个共线的点无法落在同一个有限的圆上，因此外心无定义，计算器会针对这种情况给出提示。
顶点的输入顺序有影响吗？没有影响。无论你以何种顺序输入这三个点，计算结果都完全相同。
