Çevrel Çember Merkezi Hesaplama

Hesaplamaya Girin

x₁

y₁

x₂

y₂

x₃

y₃

Sonuç

Çevrel merkez (U)

(2, 1,5)

üç köşeye de eşit uzaklıktaki nokta

Ux	2
Uy	1,5
Çevrel yarıçap	2,5

Çevrel çember merkezi nedir?

Bir üçgenin çevrel çember merkezi, üç köşesinin tümüne eşit uzaklıkta olan tek noktadır. Bu nokta, üçgenin her köşesinden geçen çevrel çemberin (çevrel daire) merkezidir. Geometrik olarak çevrel merkez, üçgenin kenarlarına ait üç orta dikmenin kesiştiği yerde bulunur. Bu hesaplama aracı, çevrel merkezi doğrudan üç köşenin koordinatlarından bulur ve ayrıca çevrel yarıçapı da verir.

Çevrel çember merkezi, üç köşeden de geçen çemberin merkezidir ve her köşeye çevrel yarıçap \(R\) kadar eşit uzaklıktadır.

Hesaplama aracı nasıl kullanılır?

Üçgenin üç köşesinin \((x, y)\) koordinatlarını girin: \((x_1, y_1)\), \((x_2, y_2)\) ve \((x_3, y_3)\). Araç, çevrel merkez koordinatlarını \((U_x, U_y)\) ve çevrel yarıçapı (çevrel merkezin herhangi bir köşeye olan uzaklığı) döndürür. Üç nokta aynı doğru üzerindeyse sonlu bir çevrel merkez bulunamaz ve araç noktaların doğrusal (aynı doğru üzerinde) olduğunu bildirir.

Formülün açıklaması

İşe \(D = 2[x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)]\) ile başlanır. Bu değer, işaretli alan determinantının iki katıdır; eğer \(D = 0\) ise noktalar aynı doğru üzerindedir. Her köşenin orijine olan uzaklığının karesini \(s_i = x_i^2 + y_i^2\) olarak alırsak, çevrel merkez şu şekilde bulunur:

$$U_x = \frac{s_1(y_2-y_3) + s_2(y_3-y_1) + s_3(y_1-y_2)}{D}, \qquad U_y = \frac{s_1(x_3-x_2) + s_2(x_1-x_3) + s_3(x_2-x_1)}{D}$$

Çevrel yarıçap \(R\) ise \((U_x, U_y)\) noktasının herhangi bir köşeye olan Öklid uzaklığıdır.

Reklam

Kenarların üç orta dikmesi çevrel çember merkezinde kesişir.

Çözümlü örnek

Köşeleri \((0, 0)\), \((4, 0)\) ve \((0, 3)\) olan bir dik üçgen alalım. Bu durumda \(D = 2[0\cdot(0-3) + 4\cdot(3-0) + 0\cdot(0-0)] = 2\cdot 12 = 24\) olur. \(s_1 = 0\), \(s_2 = 16\), \(s_3 = 9\) değerleriyle: \(U_x = (0 + 16\cdot 3 + 9\cdot 0)/24 = 48/24 = 2\) ve \(U_y = (0 + 16\cdot 0 + 9\cdot(-4))/24 = -36/24 = 1{,}5\) bulunur. Çevrel yarıçap \(\sqrt{2^2 + 1{,}5^2} = \sqrt{6{,}25} = 2{,}5\)'tir; bu da hipotenüsün tam yarısıdır — dik üçgenlerde beklendiği gibi.

Sıkça sorulan sorular

Çevrel merkez üçgenin dışında olabilir mi? Evet. Geniş açılı üçgenlerde çevrel merkez dışarıda yer alır; dik üçgenlerde hipotenüsün orta noktasında bulunur; dar açılı üçgenlerde ise üçgenin içindedir.

Noktalarım aynı doğru üzerindeyse ne olur? Aynı doğru üzerindeki üç nokta tek bir sonlu çember üzerinde yer alamaz; bu nedenle çevrel merkez tanımsızdır ve araç bu durumu uyarı olarak bildirir.

Köşelerin sırası önemli mi? Hayır. Sonuç, üç noktayı hangi sırayla girdiğinizden bağımsızdır.