Trigonometrik Form Nedir?
Her karmaşık sayı \(z = a + bi\) şeklinde olduğu gibi, trigonometrik (kutupsal) formda da \(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\) biçiminde yazılabilir. Burada \(r\) modüldür (sayının başlangıç noktasına olan uzaklığı), \(\theta\) ise argümandır (pozitif reel eksenden ölçülen açı). Bu hesaplayıcı, dikdörtgen biçimdeki herhangi bir \(a + bi\) karmaşık sayısını trigonometrik formuna dönüştürür ve \(\theta\) açısını hem derece hem de radyan cinsinden gösterir.
$$z = r\left(\cos\theta + i\sin\theta\right)$$
Nasıl Kullanılır?
Karmaşık sayınızın reel kısmı \(a\) ile sanal kısmı \(b\) değerlerini girin; ardından modül \(r\) ile argüman \(\theta\) sonuçlarını doğrudan görün. Hesaplayıcı \(\operatorname{atan2}\) fonksiyonunu kullandığı için açı otomatik olarak doğru bölgeye (kadrana) yerleştirilir — işaret düzeltmesini elle yapmanıza gerek yoktur.
Formülün Açıklaması
Modül, Pisagor teoreminden gelir: \(r = \sqrt{a^2 + b^2}\). Argüman ise \(\theta = \operatorname{atan2}(b, a)\) ile bulunur; bu fonksiyon \((a, b)\) vektörünün açısını verir. \(r\cdot\cos\theta\) çarpımı \(a\) değerini, \(r\cdot\sin\theta\) çarpımı ise \(b\) değerini geri verir; böylece trigonometrik formun orijinal sayıyla aynı olduğu doğrulanır.
$$z = r\left(\cos\theta + i\sin\theta\right) \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} r &= \sqrt{\text{Real }(a)^{2} + \text{Imag }(b)^{2}} \\ \theta &= \operatorname{atan2}\!\left(\text{Imag }(b),\ \text{Real }(a)\right) \end{aligned} \right.$$
Çözümlü Örnek
\(z = 3 + 4i\) sayısını ele alalım. Modül \(r = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5\) olur. Argüman ise \(\theta = \operatorname{atan2}(4, 3) \approx 0{,}9273\) radyan \(\approx 53{,}13°\) şeklindedir. Buna göre $$z = 5\left(\cos 53{,}13° + i\sin 53{,}13°\right)$$ yazılır.
Sıkça Sorulan Sorular
Derece mi radyan mı doğru? İkisi de aynı açıyı ifade eder; probleminizin gerektirdiğini kullanın. Türev-integral hesabında ve Euler formülünde radyan standarttır.
a ve b'nin ikisi de sıfırsa ne olur? Bu durumda \(z = 0\) olur, modül \(0\)'dır ve argüman tanımsızdır (gelenek olarak \(0\) kabul edilir).
Bunun üstel formla ilişkisi nedir? Euler formülüne göre \(r(\cos\theta + i\sin\theta) = r\cdot e^{i\theta}\)'dır; dolayısıyla aynı \(r\) ve \(\theta\) değerleri üstel formu da doğrudan verir.
