Karmaşık Sayı Üs Hesaplama aracı nedir?
Bu araç, kartezyen biçimde yazılan bir karmaşık sayıyı, yani \(z = a + bi\)'yi, herhangi bir \(n\) üssüne yükseltir. Sayıyı tekrar tekrar kendisiyle çarpmak yerine, \(z\)'yi kutupsal biçime dönüştürüp De Moivre teoremini uygular; böylece hem tam sayı hem de tam sayı olmayan üsleri hızlı ve doğru biçimde hesaplar. Sonucu, alışık olduğunuz \(a + bi\) biçiminde, ayrıca modülü ve argümanıyla birlikte verir.
Nasıl kullanılır?
Gerçel kısmı \(a\), sanal kısmı \(b\) ve üssü \(n\) girin. Hesapla düğmesine bastığınızda kartezyen sonucu, yeni modülü, derece cinsinden yeni argümanı ve orijinal sayının kutupsal parametrelerini görürsünüz. Üsler pozitif, negatif veya kesirli olabilir.
Formülün açıklaması
Önce sayı kutupsal biçime dönüştürülür: modül \(r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}\), argüman ise \(\theta = \operatorname{atan2}(b, a)\) olur. De Moivre teoremi bundan sonra şunu der:
$$z^{n} = r^{n}\left(\cos n\theta + i\sin n\theta\right)$$Açılım yapıldığında gerçel kısım \(r^{n}\cdot\cos(n\theta)\), sanal kısım ise \(r^{n}\cdot\sin(n\theta)\) olarak bulunur. \(\operatorname{atan2}\) kullanmak, açının doğru bölgede (kadranda) kalmasını sağlar.
Çözümlü örnek
\(z = 1 + i\) ve \(n = 2\) olsun. Modül \(r = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}\), argüman ise \(\theta = 45°\)'dir. Buradan \(r^{n} = (\sqrt{2})^{2} = 2\) ve \(n\theta = 90°\) elde edilir. Yani:
$$z^{2} = 2(\cos 90° + i\sin 90°) = 2(0 + i\cdot 1) = 0 + 2i$$Bunu doğrudan da doğrulayabilirsiniz:
$$(1 + i)^{2} = 1 + 2i + i^{2} = 1 + 2i - 1 = 2i$$Sıkça sorulan sorular
n negatif olabilir mi? Evet. Negatif üs, sayının tersinin pozitif üsse yükseltilmesini verir; \(z\) sıfır olmadığı sürece bu tamamen desteklenir.
n kesirli olabilir mi? Evet — kesirli üsler temel kökü (tek bir dalı) verir. Diğer kökler, açıya \(2\pi/n\)'nin katları eklenerek bulunur.
Neden arctan yerine atan2 kullanılıyor? \(\operatorname{atan2}\) hem \(a\) hem de \(b\)'nin işaretlerini dikkate alır; böylece argüman 180° kaymak yerine doğru kadrana düşer.
