Tâm đường tròn ngoại tiếp là gì?
Tâm đường tròn ngoại tiếp của một tam giác là điểm duy nhất cách đều cả ba đỉnh. Đây chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp — đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của tam giác. Về mặt hình học, tâm này nằm tại giao điểm của ba đường trung trực của các cạnh tam giác. Công cụ này tính trực tiếp tâm đường tròn ngoại tiếp từ tọa độ ba đỉnh và đồng thời trả về bán kính ngoại tiếp.
Cách sử dụng máy tính
Nhập tọa độ (x, y) của ba đỉnh tam giác: \((x_1, y_1)\), \((x_2, y_2)\) và \((x_3, y_3)\). Công cụ sẽ trả về tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp \((U_x, U_y)\) và bán kính ngoại tiếp (khoảng cách từ tâm đến mỗi đỉnh). Nếu ba điểm nằm trên cùng một đường thẳng thì không tồn tại tâm hữu hạn, và máy tính sẽ thông báo rằng các điểm thẳng hàng.
Giải thích công thức
Bắt đầu với \(D = 2[x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)]\). Đại lượng này bằng hai lần định thức diện tích có dấu; nếu \(D = 0\) thì ba điểm thẳng hàng. Đặt bình phương khoảng cách từ mỗi đỉnh đến gốc tọa độ là \(s_i = x_i^2 + y_i^2\), khi đó tọa độ tâm là $$U_x = \frac{s_1(y_2-y_3) + s_2(y_3-y_1) + s_3(y_1-y_2)}{D}, \qquad U_y = \frac{s_1(x_3-x_2) + s_2(x_1-x_3) + s_3(x_2-x_1)}{D}$$ Bán kính ngoại tiếp \(R\) chính là khoảng cách Euclid từ \((U_x, U_y)\) đến bất kỳ đỉnh nào.
Ví dụ minh họa
Xét một tam giác vuông có ba đỉnh (0, 0), (4, 0) và (0, 3). Khi đó \(D = 2[0\cdot(0-3) + 4\cdot(3-0) + 0\cdot(0-0)] = 2\cdot 12 = 24\). Với \(s_1 = 0\), \(s_2 = 16\), \(s_3 = 9\): $$U_x = \frac{0 + 16\cdot 3 + 9\cdot 0}{24} = \frac{48}{24} = 2, \qquad U_y = \frac{0 + 16\cdot 0 + 9\cdot(-4)}{24} = \frac{-36}{24} = 1{,}5$$ Bán kính ngoại tiếp là \(\sqrt{2^2 + 1{,}5^2} = \sqrt{6{,}25} = 2{,}5\), đúng bằng một nửa cạnh huyền — đúng như mong đợi đối với tam giác vuông.
Câu hỏi thường gặp
Tâm đường tròn ngoại tiếp có thể nằm ngoài tam giác không? Có. Với tam giác tù, tâm nằm bên ngoài; với tam giác vuông, tâm nằm tại trung điểm cạnh huyền; còn với tam giác nhọn, tâm nằm bên trong.
Nếu các điểm của tôi thẳng hàng thì sao? Ba điểm thẳng hàng không thể cùng nằm trên một đường tròn hữu hạn, do đó tâm đường tròn ngoại tiếp không xác định và máy tính sẽ báo trường hợp này.
Thứ tự nhập các đỉnh có quan trọng không? Không. Kết quả không phụ thuộc vào thứ tự bạn nhập ba điểm.
