外心とは？
三角形の外心とは、3つの頂点すべてから等しい距離にある唯一の点です。これは外接円（すべての頂点を通る円）の中心にあたります。図形的には、三角形の各辺の垂直二等分線が交わる点が外心になります。この計算機は3頂点の座標を入力するだけで外心を直接求め、あわせて外接円の半径も算出します。
この計算機の使い方
三角形の3つの頂点の (x, y) 座標、すなわち \((x_1, y_1)\)、\((x_2, y_2)\)、\((x_3, y_3)\) を入力してください。外心の座標 \((U_x, U_y)\) と外接円の半径（外心から任意の頂点までの距離）が表示されます。3点が一直線上に並んでいる場合は外心は存在しないため、「3点が同一直線上にある」という旨が表示されます。
計算式の解説
まず $$D = 2\left[x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)\right]$$ を求めます。これは符号付き面積の行列式の2倍にあたり、\(D = 0\) のときは3点が同一直線上にあることを意味します。各頂点の原点からの距離の2乗 \(s_i = x_i^2 + y_i^2\) を使うと、外心は $$U_x = \frac{s_1(y_2-y_3) + s_2(y_3-y_1) + s_3(y_1-y_2)}{D}, \qquad U_y = \frac{s_1(x_3-x_2) + s_2(x_1-x_3) + s_3(x_2-x_1)}{D}$$ と表せます。外接円の半径 \(R\) は、\((U_x, U_y)\) から任意の頂点までのユークリッド距離です。
計算例
頂点が (0, 0)、(4, 0)、(0, 3) の直角三角形を考えます。このとき $$D = 2\left[0\cdot(0-3) + 4\cdot(3-0) + 0\cdot(0-0)\right] = 2\cdot 12 = 24$$ です。\(s_1 = 0\)、\(s_2 = 16\)、\(s_3 = 9\) を用いると、$$U_x = \frac{0 + 16\cdot 3 + 9\cdot 0}{24} = \frac{48}{24} = 2, \qquad U_y = \frac{0 + 16\cdot 0 + 9\cdot(-4)}{24} = \frac{-36}{24} = 1.5$$ となります。外接円の半径は $$\sqrt{2^2 + 1.5^2} = \sqrt{6.25} = 2.5$$ で、これはちょうど斜辺の半分にあたり、直角三角形では当然の結果です。
よくある質問
外心が三角形の外側になることはありますか？ はい。鈍角三角形では外心は三角形の外側に位置します。直角三角形では斜辺の中点に、鋭角三角形では内側にあります。
3点が同一直線上にある場合は？ 一直線上に並んだ3点は1つの有限の円上には乗らないため、外心は定義できません。この場合、計算機がその旨を表示します。
頂点を入力する順番は関係ありますか？ いいえ。3点をどの順番で入力しても結果は変わりません。
