ما هو مركز الدائرة المحيطة؟
مركز الدائرة المحيطة بالمثلث هو النقطة الوحيدة التي تبعد المسافة نفسها عن رؤوس المثلث الثلاثة جميعًا. وهو مركز الدائرة المحيطة، أي الدائرة التي تمرّ بكل رأس من رؤوس المثلث. ومن الناحية الهندسية، يقع هذا المركز عند نقطة تقاطع المنصِّفات العمودية الثلاثة لأضلاع المثلث. تجد هذه الحاسبة المركز مباشرة انطلاقًا من إحداثيات الرؤوس الثلاثة، كما تعيد قيمة نصف القطر المحيط.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل إحداثيات (x، y) لرؤوس المثلث الثلاثة: (x₁، y₁) و(x₂، y₂) و(x₃، y₃). تعيد الأداة إحداثيات مركز الدائرة المحيطة (Ux، Uy) ونصف القطر المحيط (وهو المسافة من المركز إلى أي رأس). وإذا كانت النقاط الثلاث تقع على خط مستقيم واحد، فلا وجود لمركز محيط منتهٍ، وتنبّهك الحاسبة إلى أن النقاط واقعة على استقامة واحدة.
شرح المعادلة
نبدأ بحساب \(D = 2[x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)]\). وتمثّل هذه الكمية ضِعف محدِّد المساحة بإشارته؛ فإذا كانت \(D = 0\) فإن النقاط واقعة على استقامة واحدة. وباستخدام مربّعات مسافات كل رأس عن نقطة الأصل، حيث \(s_i = x_i^2 + y_i^2\)، يكون مركز الدائرة المحيطة:
$$U_x = \frac{s_1(y_2-y_3) + s_2(y_3-y_1) + s_3(y_1-y_2)}{D}, \qquad U_y = \frac{s_1(x_3-x_2) + s_2(x_1-x_3) + s_3(x_2-x_1)}{D}$$أمّا نصف القطر المحيط \(R\) فهو المسافة الإقليدية من النقطة (Ux، Uy) إلى أي رأس.
مثال محلول
لنأخذ مثلثًا قائم الزاوية رؤوسه (0، 0) و(4، 0) و(0، 3). عندئذٍ \(D = 2[0\cdot(0-3) + 4\cdot(3-0) + 0\cdot(0-0)] = 2\cdot 12 = 24\). وبأخذ \(s_1 = 0\)، و\(s_2 = 16\)، و\(s_3 = 9\) يكون:
$$U_x = \frac{0 + 16\cdot 3 + 9\cdot 0}{24} = \frac{48}{24} = 2, \qquad U_y = \frac{0 + 16\cdot 0 + 9\cdot(-4)}{24} = \frac{-36}{24} = 1.5$$ونصف القطر المحيط هو \(\sqrt{2^2 + 1.5^2} = \sqrt{6.25} = 2.5\)، وهو يساوي بالضبط نصف طول الوتر — كما هو متوقَّع في أي مثلث قائم الزاوية.
الأسئلة الشائعة
هل يمكن أن يقع مركز الدائرة المحيطة خارج المثلث؟ نعم. ففي المثلثات المنفرجة يقع المركز خارجها؛ وفي المثلثات القائمة يقع عند منتصف الوتر؛ وفي المثلثات الحادة يقع داخلها.
ماذا لو كانت نقاطي على استقامة واحدة؟ النقاط الثلاث الواقعة على استقامة واحدة لا يمكن أن تقع على دائرة منتهية واحدة، ومن ثمّ يكون مركز الدائرة المحيطة غير معرَّف، وتُنبّهك الحاسبة إلى هذه الحالة.
هل يؤثّر ترتيب إدخال الرؤوس؟ لا. فالنتيجة لا تتعلّق بالترتيب الذي تُدخِل به النقاط الثلاث.
