दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल क्या होता है?
दीर्घवृत्त (ellipse) एक अंडाकार आकृति होती है, जिसे दो त्रिज्याओं से परिभाषित किया जाता है: अर्ध-दीर्घ अक्ष a (सबसे लंबे व्यास का आधा) और अर्ध-लघु अक्ष b (सबसे छोटे व्यास का आधा)। दीर्घवृत्त से घिरे क्षेत्रफल को एक सरल और सटीक सूत्र \(A = \pi \cdot a \cdot b\) से निकाला जाता है। जब a और b बराबर हो जाते हैं, तो दीर्घवृत्त एक वृत्त बन जाता है और यही सूत्र जाने-पहचाने \(A = \pi r^2\) में बदल जाता है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
अर्ध-दीर्घ अक्ष (a) और अर्ध-लघु अक्ष (b) की लंबाई किसी एक ही इकाई में डालें — सेंटीमीटर, मीटर, इंच आदि। कैलकुलेटर आपको उसी इकाई के वर्ग में क्षेत्रफल बताएगा, साथ ही परिमाप का बेहद सटीक अनुमान भी देगा। ध्यान रखें कि दोनों मान आधी लंबाई (त्रिज्या) हों, पूरे व्यास नहीं।
सूत्र को समझें
क्षेत्रफल का सूत्र \(A = \pi \cdot a \cdot b\) दोनों अर्ध-अक्षों और स्थिरांक \(\pi\) (≈ 3.14159) को आपस में गुणा करता है। परिमाप के लिए कोई सरल बंद सूत्र मौजूद नहीं है, इसलिए हम रामानुजन के सन्निकटन $$P \approx \pi\left[3(a+b) - \sqrt{(3a+b)(a+3b)}\right]$$ का उपयोग करते हैं, जो सामान्य आकृतियों के लिए 0.04% से भी कम त्रुटि के साथ सटीक रहता है।
हल किया गया उदाहरण
मान लीजिए किसी दीर्घवृत्त का अर्ध-दीर्घ अक्ष 5 और अर्ध-लघु अक्ष 3 है। तब क्षेत्रफल होगा $$A = \pi \times 5 \times 3 = 15\pi \approx 47.12 \text{ वर्ग इकाई}.$$ रामानुजन के अनुसार परिमाप होगा $$\pi\left[3(5+3) - \sqrt{(15+3)(5+9)}\right] = \pi\left[24 - \sqrt{18 \times 14}\right] = \pi\left[24 - \sqrt{252}\right] \approx \pi \times 8.13 \approx 25.53 \text{ इकाई}.$$
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
क्या मुझे त्रिज्या डालनी है या व्यास? अर्ध-अक्ष (त्रिज्या) डालें। अगर आपके पास केवल पूरे व्यास हैं, तो पहले हर एक को 2 से भाग दे दें।
परिणाम किस इकाई में आता है? क्षेत्रफल उसी इकाई के वर्ग में आता है जो आपने डाली है; अगर a और b सेंटीमीटर में हैं, तो क्षेत्रफल \(\text{cm}^2\) में होगा।
परिमाप केवल अनुमानित क्यों है? दीर्घवृत्त के सटीक परिमाप के लिए एक दीर्घवृत्तीय समाकलन (elliptic integral) की ज़रूरत होती है, जिसका कोई साधारण रूप नहीं होता, इसलिए उच्च-सटीकता वाला सन्निकटन इस्तेमाल किया जाता है।
