Что такое площадь эллипса?
Эллипс — это овальная замкнутая кривая, которая задаётся двумя радиусами: большой полуосью a (половина самого длинного диаметра) и малой полуосью b (половина самого короткого диаметра). Площадь, ограниченная эллипсом, вычисляется по простой и точной формуле \(A = \pi \cdot a \cdot b\). Когда a равно b, эллипс превращается в окружность, и формула сводится к привычной \(A = \pi r^2\).
Как пользоваться калькулятором
Введите длину большой полуоси (a) и малой полуоси (b) в любых единицах измерения, главное — чтобы они совпадали: сантиметры, метры, дюймы и так далее. Калькулятор выдаст площадь в квадрате выбранной единицы, а также весьма точное приближение периметра. Убедитесь, что вы вводите именно половины длин (радиусы), а не полные диаметры.
Разбор формулы
Формула площади \(A = \pi \cdot a \cdot b\) перемножает две полуоси и число π (≈ 3,14159). Для периметра простой замкнутой формулы не существует, поэтому мы применяем приближение Рамануджана: $$P \approx \pi\left[3(a+b) - \sqrt{(3a+b)(a+3b)}\right]$$ Для типичных эллипсов его точность превышает 0,04 %.
Пример расчёта
Допустим, у эллипса большая полуось равна 5, а малая — 3. Тогда площадь равна $$A = \pi \times 5 \times 3 = 15\pi \approx 47{,}12 \text{ квадратных единиц.}$$ Периметр по формуле Рамануджана: $$\pi\left[3(5+3) - \sqrt{(15+3)(5+9)}\right] = \pi\left[24 - \sqrt{18 \times 14}\right] = \pi\left[24 - \sqrt{252}\right] \approx \pi \times 8{,}13 \approx 25{,}53 \text{ единиц.}$$
Частые вопросы
Что вводить — радиусы или диаметры? Вводите полуоси (радиусы). Если у вас есть только полные диаметры, сначала разделите каждый на 2.
В каких единицах получается результат? Площадь выражается в квадрате той единицы, которую вы ввели: если a и b заданы в см, то площадь будет в см².
Почему периметр считается лишь приближённо? Точный периметр эллипса требует эллиптического интеграла, который не выражается через элементарные функции, поэтому вместо него используется высокоточное приближение.
