वृत्त का केंद्र कैलकुलेटर क्या है?
यह टूल किसी वृत्त के सामान्य रूप वाले समीकरण \(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\) से उसका केंद्र और त्रिज्या निकाल देता है। वर्ग पूरा करने (completing the square) की झंझट में पड़े बिना, आपको बस तीन गुणांक D, E और F डालने हैं और केंद्र के निर्देशांक \((h, k)\) तथा त्रिज्या तुरंत मिल जाएँगे। यह एक सार्वभौमिक गणितीय टूल है जो किसी भी सही वृत्त समीकरण के लिए काम करता है।
इसका उपयोग कैसे करें
सबसे पहले अपने समीकरण को \(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\) के रूप में व्यवस्थित कर लें, ताकि \(x^2\) और \(y^2\) दोनों के गुणांक 1 हों। फिर इन मानों को पहचानें:
- D — x के साथ गुणा होने वाली संख्या
- E — y के साथ गुणा होने वाली संख्या
- F — अचर पद (constant term)
हर मान को उसके चिह्न (+ या −) सहित दर्ज करें और कैलकुलेटर आपको केंद्र तथा त्रिज्या बता देगा।
सूत्र की व्याख्या
वर्ग पूरा करने पर सामान्य समीकरण को इस रूप में लिखा जा सकता है: \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\)। इससे पता चलता है कि केंद्र यहाँ होता है:
$$\left(h,\, k\right) = \left(-\frac{\text{D}}{2},\; -\frac{\text{E}}{2}\right)$$
त्रिज्या इस सूत्र से मिलती है: $$r = \sqrt{\left(\frac{D}{2}\right)^2 + \left(\frac{E}{2}\right)^2 - F}$$ यदि वर्गमूल के अंदर का मान ऋणात्मक हो, तो वह समीकरण किसी वास्तविक वृत्त को नहीं दर्शाता।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(x^2 + y^2 - 6x + 8y + 9 = 0\), यानी \(D = -6\), \(E = 8\), \(F = 9\)।
केंद्र $$x = -\frac{-6}{2} = 3$$ केंद्र $$y = -\frac{8}{2} = -4$$ अर्थात केंद्र है \((3, -4)\)।
$$r = \sqrt{(-3)^2 + (4)^2 - 9} = \sqrt{9 + 16 - 9} = \sqrt{16} = 4$$
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
अगर मेरे समीकरण में \(2x^2 + 2y^2\) जैसा गुणांक हो तो? पहले पूरे समीकरण को उस गुणांक से भाग दें ताकि \(x^2\) और \(y^2\) दोनों का गुणांक 1 हो जाए, उसके बाद D, E और F पहचानें।
मेरी त्रिज्या शून्य क्यों आ रही है? यदि \(\left(\frac{D}{2}\right)^2 + \left(\frac{E}{2}\right)^2 - F\) शून्य या ऋणात्मक है, तो समीकरण किसी एक बिंदु को दर्शाता है या किसी वास्तविक वृत्त को नहीं; ऐसी स्थिति में यह कैलकुलेटर 0 दिखाता है।
(h, k) का क्या मतलब है? यह वृत्त के केंद्र को दर्शाने का मानक संकेत है, जहाँ h केंद्र का x-निर्देशांक और k केंद्र का y-निर्देशांक होता है।
