ما هي حاسبة مركز الدائرة؟
تساعدك هذه الأداة على إيجاد مركز الدائرة ونصف قطرها انطلاقًا من معادلتها في الصورة العامة: \(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\). بدلًا من إكمال المربع يدويًا، يكفي إدخال المعاملات الثلاثة D وE وF لتحصل على إحداثيات المركز \((h,\, k)\) ونصف القطر في الحال. وهي أداة رياضية عامة تصلح لأي معادلة دائرة صحيحة، أيًّا كان البلد أو المنهج الدراسي.
طريقة الاستخدام
أعد ترتيب معادلتك لتصبح على الصورة \(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\) بحيث يكون معامل كلٍّ من \(x^2\) و\(y^2\) مساويًا للواحد. ثم استخرج القيم التالية:
- D — العدد الذي يضرب في x
- E — العدد الذي يضرب في y
- F — الحد الثابت
أدخل كل قيمة مع إشارتها، وستعطيك الحاسبة المركز ونصف القطر مباشرة.
شرح القانون
عند إكمال المربع، يمكن إعادة كتابة المعادلة العامة على الصورة \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\). ويتضح من ذلك أن المركز يقع عند:
$$\left(h,\, k\right) = \left(-\frac{\text{D}}{2},\; -\frac{\text{E}}{2}\right)$$
أما نصف القطر فيُحسب من العلاقة $$r = \sqrt{\left(\frac{D}{2}\right)^2 + \left(\frac{E}{2}\right)^2 - F}$$ وإذا كانت القيمة تحت الجذر التربيعي سالبة، فإن المعادلة لا تمثل دائرة حقيقية.
مثال محلول
لنأخذ المعادلة \(x^2 + y^2 - 6x + 8y + 9 = 0\)، حيث \(D = -6\) وَ\(E = 8\) وَ\(F = 9\).
إحداثي المركز السيني $$x = -\frac{-6}{2} = 3$$ وإحداثي المركز الصادي $$y = -\frac{8}{2} = -4$$ إذن المركز هو \((3,\, -4)\).
نصف القطر $$= \sqrt{(-3)^2 + (4)^2 - 9} = \sqrt{9 + 16 - 9} = \sqrt{16} = 4$$
الأسئلة الشائعة
ماذا أفعل إذا كانت معادلتي تحتوي على معامل مثل \(2x^2 + 2y^2\)؟ اقسم المعادلة كاملة على ذلك المعامل أولًا حتى يصبح معامل كلٍّ من \(x^2\) وَ\(y^2\) مساويًا للواحد، ثم استخرج القيم D وE وF.
لماذا نصف القطر يساوي صفرًا؟ إذا كانت القيمة \(\left(\frac{D}{2}\right)^2 + \left(\frac{E}{2}\right)^2 - F\) تساوي صفرًا أو سالبة، فإن المعادلة تمثل نقطة واحدة أو لا تمثل دائرة حقيقية؛ وفي هذه الحالة تُظهر الحاسبة القيمة 0.
ماذا يعني الرمز \((h,\, k)\)؟ هو الترميز المعتاد لمركز الدائرة، حيث يمثل \(h\) الإحداثي السيني، ويمثل \(k\) الإحداثي الصادي.
