यह टूल क्या करता है
यह कैलकुलेटर किसी भी एक-चर वाले फलन \(f(x)\), \(a\) से \(b\) तक के बंद अंतराल और उपविभाजनों की संख्या \(n\) को लेता है। यह समान दूरी पर रखे गए \(n+1\) बिंदुओं और उनके फलन-मानों की एक सारणी बनाता है, और दिखाता है कि वक्र पूरे अंतराल में कैसा व्यवहार करता है। यह ग्राफ़ बनाने, चिह्न-परिवर्तन (मूल यानी roots) ढूँढने, और समलंब (trapezoidal) नियम या द्विभाजन (bisection) जैसी संख्यात्मक विधियों के लिए डेटा तैयार करने में उपयोगी है।
इसे कैसे इस्तेमाल करें
x वाला व्यंजक मानक गणितीय संकेतन में टाइप करें: जोड़-घटाव के लिए + −, गुणा-भाग के लिए * /, घात के लिए ^, कोष्ठक, और sin, cos, tan, asin, acos, atan, sinh, cosh, tanh, exp, sqrt, abs, ln तथा log जैसे फलन। दो-तर्क वाला log(base, x) किसी भी आधार का लघुगणक देता है, जबकि log(x) प्राकृतिक लघुगणक (natural log) है। नियतांक pi और e को भी पहचाना जाता है। निचली सीमा \(a\) और ऊपरी सीमा \(b\) तय करें, और ड्रॉपडाउन से \(n\) चुनें। सभी त्रिकोणमितीय तर्क रेडियन में होते हैं, डिग्री में नहीं।
सूत्र की व्याख्या
दूरी होती है \(h = (b - a)/n\)। प्रत्येक नमूना बिंदु \(x_i = a + i\,h\) है, जहाँ \(i = 0\) से लेकर \(n\) तक चलता है, जिससे ठीक \(n + 1\) बिंदु मिलते हैं: \(f(a), f(a+h), f(a+2h), \ldots, f(b)\)। हर मान \(y_i\), विश्लेषित व्यंजक को \(x = x_i\) पर मूल्यांकित करके निकाला जाता है।
$$\begin{gathered} x_i = a + i\,h, \qquad y_i = f(x_i) \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} h &= \dfrac{b - a}{n} \\ i &= 0,\, 1,\, 2,\, \ldots,\, n \end{aligned} \right. \end{gathered}$$जिन बिंदुओं पर फलन अपरिभाषित होता है (शून्य से भाग, अऋणात्मक न होने वाली संख्या का लघुगणक, या ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल), उन्हें अपरिभाषित (undefined) चिह्नित कर दिया जाता है।
हल किया हुआ उदाहरण
\(f(x) = x - \cos(x)\) के लिए \([0, \pi]\) पर \(n = 4\) के साथ, \(h = \pi/4 = 0.785398\)। मान इस प्रकार हैं: \(x=0\) पर \(-1\); \(x=0.7854\) पर \(0.0783\); \(x=1.5708\) पर \(1.5708\); \(x=2.3562\) पर \(3.0633\); \(x=3.1416\) पर \(4.1416\)। वक्र \(-1\) से लगातार बढ़कर लगभग \(4.14\) तक पहुँचता है, और \(x = 0\) के ठीक बाद शून्य को पार करता है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
क्या कोण डिग्री में हैं? नहीं। sin, cos और tan रेडियन का उपयोग करते हैं। डिग्री को \(\pi/180\) से गुणा करके बदलें।
कितने बिंदु बनते हैं? हमेशा \(n + 1\), क्योंकि दोनों सिरे \(a\) और \(b\) शामिल किए जाते हैं।
अगर a, b से बड़ा हो तो क्या होगा? तब चरण \(h\) ऋणात्मक हो जाता है और सारणी \(a\) से घटते हुए \(b\) तक चलती है; यह फिर भी मान्य रहती है।
