फलन f(x) टेबल और ग्राफ कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

f(x)

परास a

b

उपविभाजनों की संख्या n 10 20 50 100 200

परिणाम

चरण आकार h = (b − a) / n

0.4

51 sample points: f(a) ... f(b)

नमूना बिंदुओं की संख्या (n+1)	51
पहले बिंदु पर f (x = a)	-9.160928
अंतिम बिंदु पर f (x = b)	10.839072

i	x	f(x)
	-10	-9.160928
	-9.6	-8.615312
	-9.2	-8.225156
	-8.8	-7.988907
	-8.4	-7.880711
	-8	-7.8545
	-7.6	-7.85126
	-7.2	-7.808351
	-6.8	-7.669397
	-6.4	-7.393185
	-6	-6.96017
	-5.6	-6.375566
	-5.2	-5.668517
	-4.8	-4.887499
	-4.4	-4.092667
	-4	-3.346356
	-3.6	-2.703242
	-3.2	-2.201705
	-2.8	-1.857778
	-2.4	-1.662606
	-2	-1.583853
	-1.6	-1.5708
	-1.2	-1.562358
	-0.8	-1.496707
	-0.4	-1.321061
	0	-1
	0.4	-0.521061
	0.8	0.103293
	1.2	0.837642
	1.6	1.6292
	2	2.416147
	2.4	3.137394
	2.8	3.742222
	3.2	4.198295
	3.6	4.496758
	4	4.653644
	4.4	4.707333
	4.8	4.712501
	5.2	4.731483
	5.6	4.824434
	6	5.03983
	6.4	5.406815
	6.8	5.930603
	7.2	6.591649
	7.6	7.34874
	8	8.1455
	8.4	8.919289
	8.8	9.611093
	9.2	10.174844
	9.6	10.584688
	10	10.839072

यह टूल क्या करता है

यह कैलकुलेटर किसी भी एक-चर वाले फलन \(f(x)\), \(a\) से \(b\) तक के बंद अंतराल और उपविभाजनों की संख्या \(n\) को लेता है। यह समान दूरी पर रखे गए \(n+1\) बिंदुओं और उनके फलन-मानों की एक सारणी बनाता है, और दिखाता है कि वक्र पूरे अंतराल में कैसा व्यवहार करता है। यह ग्राफ़ बनाने, चिह्न-परिवर्तन (मूल यानी roots) ढूँढने, और समलंब (trapezoidal) नियम या द्विभाजन (bisection) जैसी संख्यात्मक विधियों के लिए डेटा तैयार करने में उपयोगी है।

इसे कैसे इस्तेमाल करें

x वाला व्यंजक मानक गणितीय संकेतन में टाइप करें: जोड़-घटाव के लिए + −, गुणा-भाग के लिए * /, घात के लिए ^, कोष्ठक, और sin, cos, tan, asin, acos, atan, sinh, cosh, tanh, exp, sqrt, abs, ln तथा log जैसे फलन। दो-तर्क वाला log(base, x) किसी भी आधार का लघुगणक देता है, जबकि log(x) प्राकृतिक लघुगणक (natural log) है। नियतांक pi और e को भी पहचाना जाता है। निचली सीमा \(a\) और ऊपरी सीमा \(b\) तय करें, और ड्रॉपडाउन से \(n\) चुनें। सभी त्रिकोणमितीय तर्क रेडियन में होते हैं, डिग्री में नहीं।

सूत्र की व्याख्या

दूरी होती है \(h = (b - a)/n\)। प्रत्येक नमूना बिंदु \(x_i = a + i\,h\) है, जहाँ \(i = 0\) से लेकर \(n\) तक चलता है, जिससे ठीक \(n + 1\) बिंदु मिलते हैं: \(f(a), f(a+h), f(a+2h), \ldots, f(b)\)। हर मान \(y_i\), विश्लेषित व्यंजक को \(x = x_i\) पर मूल्यांकित करके निकाला जाता है।

$$\begin{gathered} x_i = a + i\,h, \qquad y_i = f(x_i) \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} h &= \dfrac{b - a}{n} \\ i &= 0,\, 1,\, 2,\, \ldots,\, n \end{aligned} \right. \end{gathered}$$

जिन बिंदुओं पर फलन अपरिभाषित होता है (शून्य से भाग, अऋणात्मक न होने वाली संख्या का लघुगणक, या ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल), उन्हें अपरिभाषित (undefined) चिह्नित कर दिया जाता है।

अंतराल [a, b] को h चौड़ाई के n बराबर उप-अंतरालों में बाँटा जाता है, जिससे नमूना बिंदु x_i मिलते हैं।

हल किया हुआ उदाहरण

\(f(x) = x - \cos(x)\) के लिए \([0, \pi]\) पर \(n = 4\) के साथ, \(h = \pi/4 = 0.785398\)। मान इस प्रकार हैं: \(x=0\) पर \(-1\); \(x=0.7854\) पर \(0.0783\); \(x=1.5708\) पर \(1.5708\); \(x=2.3562\) पर \(3.0633\); \(x=3.1416\) पर \(4.1416\)। वक्र \(-1\) से लगातार बढ़कर लगभग \(4.14\) तक पहुँचता है, और \(x = 0\) के ठीक बाद शून्य को पार करता है।

हर x_i एक मान y_i = f(x_i) देता है, जिससे तालिका भरती है और वक्र खिंचता है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

क्या कोण डिग्री में हैं? नहीं। sin, cos और tan रेडियन का उपयोग करते हैं। डिग्री को \(\pi/180\) से गुणा करके बदलें।

कितने बिंदु बनते हैं? हमेशा \(n + 1\), क्योंकि दोनों सिरे \(a\) और \(b\) शामिल किए जाते हैं।

अगर a, b से बड़ा हो तो क्या होगा? तब चरण \(h\) ऋणात्मक हो जाता है और सारणी \(a\) से घटते हुए \(b\) तक चलती है; यह फिर भी मान्य रहती है।