कछुआ और सारस की पहेली क्या है?
कछुआ और सारस वाली पहेली (जापानी में इसे "सुरुकामेज़ान" कहा जाता है) एक मशहूर प्राइमरी-स्कूल का गणित सवाल है। इसमें आपको सारसों और कछुओं के मिले-जुले झुंड के कुल सिरों की संख्या और कुल पैरों की संख्या बताई जाती है। एक सारस के 2 पैर होते हैं और एक कछुए के 4 पैर। पहेली यह है कि पता लगाया जाए कि किस जानवर के कितने हैं। भले ही इसका जापानी सांस्कृतिक रूप मज़ेदार लगे, पर इसके पीछे का गणित सार्वभौमिक है — यह असल में दो अज्ञात राशियों वाले दो रैखिक समीकरणों का एक तंत्र मात्र है।
इस कैलकुलेटर का इस्तेमाल कैसे करें
कुल सिरों की संख्या और कुल पैरों की संख्या डालें। प्रति सारस पैर (2) और प्रति कछुआ पैर (4) पहले से भरे हुए हैं, लेकिन आप पहेली के दूसरे रूप आज़माने के लिए इन्हें बदल भी सकते हैं। कैलकुलेटर तुरंत सारसों और कछुओं की संख्या बता देता है और साथ ही पैरों का जोड़ भी जाँच कर दिखाता है।
फ़ॉर्मूला आसान भाषा में
मान लीजिए \(H\) कुल सिर हैं, \(L\) कुल पैर, \(a\) प्रति सारस पैर और \(b\) प्रति कछुआ पैर। तब हमारे पास दो समीकरण होते हैं: सारस + कछुए = \(H\), और \(a\cdot\)सारस \(+\, b\cdot\)कछुए \(= L\)। इस तंत्र को हल करने पर मिलता है:
$$\text{सारस} = \frac{b\,H - L}{b - a}, \qquad \text{कछुए} = \frac{L - a\,H}{b - a}$$सही उत्तर के लिए दोनों परिणाम ऋणात्मक नहीं और पूर्ण संख्याएँ होनी चाहिए, यानी कुल पैरों की संख्या \(2\times\)सिर और \(4\times\)सिर के बीच होनी ज़रूरी है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए 8 सिर और 26 पैर हैं। तब
$$\text{सारस} = \frac{4\times 8 - 26}{4 - 2} = \frac{32 - 26}{2} = 3$$और कछुए \(= 8 - 3 = 5\)। जाँच करें: \(3\times 2 + 5\times 4 = 6 + 20 = 26\) पैर, और \(3 + 5 = 8\) सिर। यानी 3 सारस और 5 कछुए हैं।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
कभी-कभी हल क्यों नहीं निकलता? अगर पैरों की संख्या \(2\times\)सिर और \(4\times\)सिर के बीच नहीं है, तो किसी एक जानवर की गिनती ऋणात्मक आ जाएगी, जो असंभव है। साथ ही, 2 और 4 पैरों वाले मामले में कुल पैर सम (even) होने चाहिए, वरना गिनती पूर्ण संख्या में नहीं आएगी।
क्या मैं दूसरे जानवरों के मेल भी हल कर सकता हूँ? हाँ। "प्रति सारस पैर" और "प्रति कछुआ पैर" को कोई भी दो अलग-अलग मान बदल दें, जैसे 2 (मुर्गी) और 4 (खरगोश), और वही तरीका काम करता है।
अगर सभी जानवर एक ही तरह के हों तो? अगर पैर \(= 2\times\)सिर, तो हर जानवर सारस है; और अगर पैर \(= 4\times\)सिर, तो हर जानवर कछुआ है।
