Bài toán Hạc và Rùa là gì?
Bài toán hạc và rùa (tiếng Nhật gọi là "tsurukamezan") là một dạng bài toán đố kinh điển ở bậc tiểu học. Đề bài cho biết tổng số đầu và tổng số chân của một đàn gồm cả hạc lẫn rùa. Mỗi con hạc có 2 chân, còn mỗi con rùa có 4 chân. Nhiệm vụ là tính xem có bao nhiêu con mỗi loại. Tuy được khoác lên một lớp áo văn hóa thú vị, bản chất toán học của nó lại hết sức phổ quát: đây đơn giản là một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn. Ở Việt Nam, dạng bài này thường được biết đến qua biến thể quen thuộc "vừa gà vừa chó, bó lại cho tròn, ba mươi sáu con, một trăm chân chẵn".
Cách dùng công cụ này
Bạn chỉ cần nhập tổng số đầu và tổng số chân. Số chân của mỗi con hạc (2) và mỗi con rùa (4) đã được điền sẵn, nhưng bạn hoàn toàn có thể thay đổi để giải các biến thể khác của bài toán. Công cụ sẽ ngay lập tức cho ra số hạc và số rùa, đồng thời kiểm tra lại số chân giúp bạn.
Giải thích công thức
Gọi \(H\) là tổng số đầu, \(L\) là tổng số chân, \(a\) là số chân mỗi con hạc và \(b\) là số chân mỗi con rùa. Ta có hai phương trình: số hạc + số rùa = \(H\), và \(a\cdot\)số hạc \(+\ b\cdot\)số rùa \(= L\). Giải hệ này ta được
$$\text{Hạc} = \frac{b\,H - L}{b - a}, \qquad \text{Rùa} = \frac{L - a\,H}{b - a}$$Để đáp án hợp lệ (số con phải nguyên), cả hai kết quả đều phải là số nguyên không âm, nghĩa là tổng số chân phải nằm trong khoảng từ \(2\times\)số đầu đến \(4\times\)số đầu.
Ví dụ minh họa
Giả sử có 8 đầu và 26 chân. Khi đó
$$\text{số hạc} = \frac{4\times 8 - 26}{4 - 2} = \frac{32 - 26}{2} = 3$$và số rùa \(= 8 - 3 = 5\). Kiểm tra lại: \(3\times 2 + 5\times 4 = 6 + 20 = 26\) chân, và \(3 + 5 = 8\) đầu. Vậy đàn có 3 con hạc và 5 con rùa.
Câu hỏi thường gặp
Vì sao có khi bài toán vô nghiệm? Nếu số chân không nằm trong khoảng từ \(2\times\)số đầu đến \(4\times\)số đầu thì một trong hai loại sẽ ra số âm, điều này là vô lý. Ngoài ra, với 2 và 4 chân thì tổng số chân bắt buộc phải là số chẵn, nếu không thì số con sẽ không nguyên.
Có giải được cho các loài vật khác không? Có. Bạn chỉ cần đổi "số chân mỗi con hạc" và "số chân mỗi con rùa" thành hai giá trị khác nhau bất kỳ, chẳng hạn 2 (gà) và 4 (chó), cách giải vẫn y nguyên.
Nếu tất cả đều cùng một loài thì sao? Nếu số chân \(= 2\times\)số đầu thì tất cả đều là hạc; còn nếu số chân \(= 4\times\)số đầu thì tất cả đều là rùa.
