Qu'est-ce que le problème des grues et des tortues ?
Le problème des grues et des tortues (appelé « tsurukamezan » au Japon) est un énoncé classique de l'école primaire. On vous donne le nombre total de têtes et le nombre total de pattes d'un groupe mélangé de grues et de tortues. Une grue a 2 pattes et une tortue en a 4. Le défi consiste à déterminer combien il y a de chaque animal. Malgré son habillage culturel charmant, les mathématiques en jeu sont universelles : il s'agit tout simplement d'un système de deux équations linéaires à deux inconnues.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez le nombre total de têtes et le nombre total de pattes. Le nombre de pattes par grue (2) et par tortue (4) est pré-rempli, mais vous pouvez le modifier pour explorer d'autres variantes du problème. Le calculateur affiche instantanément le nombre de grues et de tortues, et vérifie le compte des pattes pour vous.
La formule expliquée
Soit \(H\) le nombre total de têtes, \(L\) le nombre total de pattes, \(a\) le nombre de pattes par grue et \(b\) le nombre de pattes par tortue. On obtient deux équations : grues + tortues = \(H\), et \(a \cdot \text{grues} + b \cdot \text{tortues} = L\). La résolution du système donne $$\text{grues} = \frac{b\,H - L}{b - a}, \qquad \text{tortues} = \frac{L - a\,H}{b - a}$$ Pour qu'une solution corresponde à des animaux entiers, les deux résultats doivent être des entiers positifs ou nuls, ce qui implique que le nombre total de pattes se situe entre \(2 \times \text{têtes}\) et \(4 \times \text{têtes}\).
Exemple résolu
Supposons qu'il y ait 8 têtes et 26 pattes. Alors $$\text{grues} = \frac{4 \times 8 - 26}{4 - 2} = \frac{32 - 26}{2} = 3,$$ et \(\text{tortues} = 8 - 3 = 5\). Vérification : \(3 \times 2 + 5 \times 4 = 6 + 20 = 26\) pattes, et \(3 + 5 = 8\) têtes. Il y a donc 3 grues et 5 tortues.
FAQ
Pourquoi peut-il n'y avoir aucune solution ? Si le nombre de pattes ne se situe pas entre \(2 \times \text{têtes}\) et \(4 \times \text{têtes}\), le compte de l'un des animaux devient négatif, ce qui est impossible. De plus, avec 2 et 4 pattes, le total des pattes doit être pair, sinon les résultats ne sont pas des nombres entiers.
Puis-je résoudre d'autres mélanges d'animaux ? Oui. Modifiez « pattes par grue » et « pattes par tortue » avec deux valeurs différentes de votre choix, par exemple 2 (poule) et 4 (lapin) : la même méthode fonctionne.
Et si tous les animaux sont du même type ? Si \(\text{pattes} = 2 \times \text{têtes}\), alors tous les animaux sont des grues ; si \(\text{pattes} = 4 \times \text{têtes}\), alors tous les animaux sont des tortues.
