학과 거북이 문제란?
학과 거북이 문제(일본에서는 "쓰루카메잔(鶴亀算)"이라고 부릅니다)는 초등학교에서 흔히 다루는 고전적인 응용 문제입니다. 학과 거북이가 섞여 있는 무리의 전체 머리 수와 전체 다리 수가 주어지고, 각각 몇 마리인지 알아내는 것이 핵심입니다. 학은 다리가 2개, 거북이는 다리가 4개라는 조건을 활용하죠. 일본식 이름이 붙어 있어 이국적으로 느껴질 수 있지만, 수학적으로는 미지수가 2개인 연립일차방정식을 푸는 것과 똑같아 어느 나라에서나 통하는 보편적인 문제입니다.
계산기 사용법
전체 머리 수와 전체 다리 수를 입력하세요. 학 한 마리의 다리 수(2)와 거북이 한 마리의 다리 수(4)는 미리 채워져 있지만, 다른 변형 문제를 풀고 싶다면 값을 바꿀 수도 있습니다. 입력하는 즉시 학과 거북이의 마릿수가 계산되고, 다리 수까지 자동으로 검산해 줍니다.
공식 풀이
전체 머리 수를 \(H\), 전체 다리 수를 \(L\), 학 한 마리의 다리 수를 \(a\), 거북이 한 마리의 다리 수를 \(b\)라고 합시다. 그러면 두 개의 식이 성립합니다. 학 + 거북이 = \(H\), 그리고 \(a\cdot\text{학} + b\cdot\text{거북이} = L\) 입니다. 이 연립방정식을 풀면 다음과 같습니다.
$$\text{학} = \frac{b\,H - L}{b - a}, \qquad \text{거북이} = \frac{L - a\,H}{b - a}$$마릿수가 성립하려면 두 결과가 모두 0 이상의 정수여야 하므로, 전체 다리 수는 반드시 \(2\times\)머리 수와 \(4\times\)머리 수 사이에 있어야 합니다.
예제로 익히기
머리가 8개, 다리가 26개라고 해 봅시다. 그러면
$$\text{학} = \frac{4\times 8 - 26}{4 - 2} = \frac{32 - 26}{2} = 3\text{마리}, \qquad \text{거북이} = 8 - 3 = 5\text{마리}$$가 됩니다. 검산해 보면 \(3\times 2 + 5\times 4 = 6 + 20 = 26\)개로 다리 수가 맞고, \(3 + 5 = 8\)로 머리 수도 일치합니다. 따라서 학은 3마리, 거북이는 5마리입니다.
자주 묻는 질문
해가 없는 경우는 왜 생기나요? 다리 수가 \(2\times\)머리 수와 \(4\times\)머리 수 사이에 들어가지 않으면 어느 한쪽 마릿수가 음수로 나오는데, 이는 현실적으로 불가능하기 때문입니다. 또한 다리가 2개와 4개일 때는 전체 다리 수가 짝수여야 하며, 그렇지 않으면 마릿수가 정수로 떨어지지 않습니다.
다른 동물 조합도 풀 수 있나요? 가능합니다. "학 한 마리의 다리 수"와 "거북이 한 마리의 다리 수"를 서로 다른 두 값으로 바꾸면 됩니다. 예를 들어 닭(2)과 토끼(4)처럼요. 똑같은 방법으로 풀립니다.
전부 같은 종류라면요? 다리 수 = \(2\times\)머리 수이면 모두 학이고, 다리 수 = \(4\times\)머리 수이면 모두 거북이입니다.
