¿Qué es el problema de las grullas y las tortugas?
El problema de las grullas y las tortugas (conocido en japonés como «tsurukamezan») es un clásico ejercicio de matemáticas de la escuela primaria. El enunciado te da el número total de cabezas y el número total de patas de un grupo mixto de grullas y tortugas. Una grulla tiene 2 patas y una tortuga tiene 4. El reto consiste en deducir cuántos ejemplares hay de cada animal. Aunque su envoltorio cultural resulta entrañable, las matemáticas son universales: no es más que un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.
Cómo usar esta calculadora
Introduce el número total de cabezas y el número total de patas. Las patas por grulla (2) y por tortuga (4) vienen ya rellenas, pero puedes cambiarlas para plantear otras variantes del problema. La calculadora te devuelve al instante cuántas grullas y tortugas hay, y comprueba por ti el recuento de patas.
La fórmula explicada
Llamemos \(H\) al total de cabezas, \(L\) al total de patas, \(a\) a las patas por grulla y \(b\) a las patas por tortuga. Tenemos dos ecuaciones: grullas + tortugas = \(H\), y \(a\cdot\text{grullas} + b\cdot\text{tortugas} = L\). Al resolver el sistema obtenemos
$$\text{Grullas} = \frac{b\,H - L}{b - a}, \qquad \text{Tortugas} = \frac{L - a\,H}{b - a}$$Para que la solución tenga sentido (animales enteros), ambos resultados deben ser números enteros no negativos, lo que implica que el total de patas debe situarse entre \(2\times\text{cabezas}\) y \(4\times\text{cabezas}\).
Ejemplo resuelto
Supongamos que hay 8 cabezas y 26 patas. Entonces
$$\text{grullas} = \frac{4\times 8 - 26}{4 - 2} = \frac{32 - 26}{2} = 3, \qquad \text{tortugas} = 8 - 3 = 5$$Comprobamos: \(3\times 2 + 5\times 4 = 6 + 20 = 26\) patas, y \(3 + 5 = 8\) cabezas. Así pues, hay 3 grullas y 5 tortugas.
Preguntas frecuentes
¿Por qué a veces no hay solución? Si el número de patas no está entre \(2\times\text{cabezas}\) y \(4\times\text{cabezas}\), el recuento de alguno de los animales sale negativo, lo cual es imposible. Además, con 2 y 4 patas el total de patas debe ser par; de lo contrario, los recuentos no salen enteros.
¿Puedo resolver otras combinaciones de animales? Sí. Cambia «patas por grulla» y «patas por tortuga» por dos valores distintos cualesquiera, por ejemplo 2 (una gallina) y 4 (un conejo), y el mismo método funciona igual.
¿Y si todos los animales son del mismo tipo? Si patas = \(2\times\text{cabezas}\), entonces todos son grullas; si patas = \(4\times\text{cabezas}\), entonces todos son tortugas.
