¿Qué es el método de Newton?
El método de Newton (también conocido como Newton-Raphson) es una de las técnicas más rápidas y utilizadas para hallar de forma numérica la raíz de una ecuación, es decir, un valor de \(x\) donde \(f(x) = 0\). Partiendo de una estimación inicial, traza repetidamente la recta tangente a la curva y toma el punto donde esa tangente corta el eje x como la siguiente estimación, cada vez más precisa. Cuando funciona, la convergencia es cuadrática: el número de cifras correctas se duplica aproximadamente en cada paso.
Cómo usar esta calculadora
Introduce tu función \(f(x)\) usando \(x\) como variable. Como esta herramienta no deriva de forma automática, también debes facilitar tú mismo la derivada analítica \(f'(x)\). Elige un valor inicial \(x_0\) y un número máximo de iteraciones. La calculadora te devuelve la raíz aproximada, el valor de \(f\) en esa raíz (que debe estar cerca de cero para confirmar la convergencia), cuántas iteraciones se usaron y una tabla con el historial paso a paso. Sintaxis admitida: + - * / ^ para las potencias, paréntesis, las funciones sin, cos, tan, asin, acos, atan, exp, ln, log, sqrt, abs, y las constantes pi y e. Las funciones trigonométricas trabajan en radianes.
La fórmula explicada
La regla de actualización es
$$x_{n+1} = x_{n} - \frac{f(x_{n})}{f^{\prime}(x_{n})}$$En cada iteración se evalúa la función y su pendiente en el punto actual y se avanza hacia el corte de la tangente con el eje x. Si la derivada es cero en algún paso, la tangente es horizontal y el método falla con un error de división entre cero.
Ejemplo resuelto
Tomemos \(f(x) = x - \cos(x)\), con derivada \(f'(x) = 1 + \sin(x)\) y \(x_0 = 1\). El paso 1 da
$$x_1 = 1 - \frac{1 - \cos 1}{1 + \sin 1} = 0{,}75034$$El paso 2 da \(0{,}73912\), el paso 3 da \(0{,}73909\) y, en muy pocas iteraciones, se estabiliza en \(x = 0{,}7390851332151607\), el célebre «número de Dottie», donde \(x = \cos x\). En ese punto, \(f(x)\) es prácticamente cero.
Preguntas frecuentes
¿Por qué tengo que introducir la derivada? Esta herramienta evalúa expresiones, pero no realiza derivación simbólica, así que debes escribir \(f'(x)\) a mano. Una derivada incorrecta dará una raíz errónea o provocará que el método diverja.
¿Por qué no converge? El método de Newton puede diverger u oscilar con valores iniciales poco adecuados, cerca de puntos de inflexión o cuando no existe una raíz real. Prueba con otro \(x_0\) o aumenta el límite de iteraciones.
¿Qué raíz obtengo si hay varias? La raíz que encuentra depende del valor inicial \(x_0\); elige una estimación cercana a la raíz que te interese.
