न्यूटन विधि क्या है?
न्यूटन विधि (जिसे न्यूटन-राफसन विधि भी कहते हैं) किसी समीकरण का संख्यात्मक मूल खोजने की सबसे तेज़ और सर्वाधिक प्रयोग में आने वाली तकनीकों में से एक है — यानी ऐसा मान x ज्ञात करना जहाँ \(f(x) = 0\) हो। यह किसी प्रारंभिक अनुमान से शुरू होकर बार-बार वक्र पर स्पर्शरेखा (tangent) खींचती है और जहाँ वह स्पर्शरेखा x-अक्ष को काटती है, उसे अगला, और बेहतर अनुमान मान लेती है। जब यह विधि काम करती है, तो इसका अभिसरण द्विघातीय (quadratic) होता है: हर चरण में सही अंकों की संख्या लगभग दोगुनी हो जाती है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
अपना फलन \(f(x)\) दर्ज करें और चर के रूप में x का प्रयोग करें। चूँकि यह टूल अपने आप अवकलन (differentiation) नहीं करता, इसलिए आपको विश्लेषणात्मक अवकलज \(f'(x)\) स्वयं देना होगा। एक प्रारंभिक अनुमान \(x_0\) और पुनरावृत्तियों की अधिकतम संख्या चुनें। कैलकुलेटर आपको अनुमानित मूल, उस मूल पर f का मान (जो अभिसरण की पुष्टि के लिए शून्य के आसपास होना चाहिए), कितनी पुनरावृत्तियाँ लगीं और एक चरण-दर-चरण इतिहास तालिका लौटाता है। समर्थित सिंटैक्स: घातों के लिए + - * / ^, कोष्ठक, तथा फलन sin, cos, tan, asin, acos, atan, exp, ln, log, sqrt, abs और स्थिरांक pi और e। त्रिकोणमितीय फलन रेडियन में काम करते हैं।
सूत्र की व्याख्या
अद्यतन नियम है $$x_{n+1} = x_{n} - \frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}$$ प्रत्येक पुनरावृत्ति वर्तमान बिंदु पर फलन और उसकी ढलान का मूल्यांकन करती है और स्पर्शरेखा के x-अंतःखंड की ओर एक कदम बढ़ाती है। यदि किसी चरण पर अवकलज शून्य हो जाए, तो स्पर्शरेखा क्षैतिज (horizontal) हो जाती है और विधि शून्य से भाग (division-by-zero) की त्रुटि के साथ विफल हो जाती है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(f(x) = x - \cos(x)\), जिसका अवकलज \(f'(x) = 1 + \sin(x)\) है, और \(x_0 = 1\)। चरण 1 देता है $$x_1 = 1 - \frac{1 - \cos 1}{1 + \sin 1} = 0.75034$$ चरण 2 देता है \(0.73912\), चरण 3 देता है \(0.73909\), और कुछ ही पुनरावृत्तियों में यह \(x = 0.7390851332151607\) पर स्थिर हो जाता है — यही प्रसिद्ध "डॉटी संख्या" (Dottie number) है, जहाँ \(x = \cos x\) होता है। उस बिंदु पर \(f(x)\) लगभग शून्य होता है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
मुझे अवकलज स्वयं क्यों देना पड़ता है? यह टूल व्यंजकों (expressions) का मूल्यांकन तो करता है, पर सांकेतिक अवकलन (symbolic differentiation) नहीं करता, इसलिए \(f'(x)\) आपको स्वयं दर्ज करना होता है। गलत अवकलज देने पर गलत मूल मिलेगा या विधि अपसरित (diverge) हो जाएगी।
यह अभिसरित क्यों नहीं हुई? खराब प्रारंभिक अनुमान, नति परिवर्तन बिंदुओं (inflection points) के पास, या जब कोई वास्तविक मूल मौजूद ही न हो — ऐसी स्थितियों में न्यूटन विधि अपसरित या दोलन (oscillate) कर सकती है। कोई दूसरा \(x_0\) आज़माएँ या पुनरावृत्ति सीमा बढ़ाएँ।
एक से अधिक मूल होने पर कौन-सा मूल मिलेगा? जो मूल मिलता है वह प्रारंभिक अनुमान \(x_0\) पर निर्भर करता है; इसलिए जिस मूल को आप पाना चाहते हैं, उसके पास का अनुमान चुनें।
