कार्य दर (संयुक्त कार्य) का सवाल क्या है?
यह अंकगणित का वही मशहूर "समय और कार्य" वाला सवाल है, जो शायद आपने स्कूल में भी हल किया होगा: दो टीमें अकेले-अकेले एक ही काम को एक निश्चित दिनों में पूरा कर सकती हैं, और आपको पता करना है कि अगर वे साथ मिलकर काम करें तो काम कितनी जल्दी पूरा होगा। यह नियम हर ऐसे काम पर लागू होता है जिसे दो मज़दूर, दो मशीनें या दो पाइप मिलकर करते हैं — चाहे दीवार रंगना हो, टंकी भरना हो या कोई प्रोजेक्ट पूरा करना।
इसका इस्तेमाल कैसे करें
टीम A के ज़रूरी दिन (यानी टीम A अकेले कितने दिन लेगी) और टीम B के ज़रूरी दिन (टीम B अकेले कितने दिन लेगी) एक ही समय इकाई में भरें। कैलकुलेटर आपको हर टीम की प्रतिदिन की कार्य दर, दोनों की संयुक्त दर, और साथ मिलकर काम पूरा करने में लगने वाले दिन बता देगा। अगर आप दिन के बजाय घंटों में नापना चाहें, तो जवाब भी घंटों में आएगा — बस ध्यान रखें कि दोनों इनपुट एक ही इकाई में हों।
फ़ॉर्मूला समझें
पूरे काम को 1 इकाई मान लीजिए। टीम A हर दिन काम का \(1/a\) हिस्सा पूरा करती है, और टीम B \(1/b\) हिस्सा। जब दोनों साथ काम करती हैं तो उनकी दरें जुड़ जाती हैं, और संयुक्त दर बनती है $$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{a + b}{a \cdot b}$$ काम पूरा होने का समय इसी दर का व्युत्क्रम (reciprocal) होता है, यानी $$t = \frac{a \cdot b}{a + b}$$ चूँकि मदद मिलने से काम सिर्फ़ तेज़ ही होता है, इसलिए जवाब हमेशा तेज़ टीम के अकेले के समय से भी कम आता है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए टीम A को 16 दिन और टीम B को 10 दिन लगते हैं। टीम A की दर है \(1/16 = 0.0625\) काम/दिन और टीम B की \(1/10 = 0.1\) काम/दिन। दोनों की संयुक्त दर है 0.1625 काम/दिन, इसलिए मिलकर वे काम पूरा करेंगी $$\frac{1}{0.1625} = \frac{16 \times 10}{16 + 10} = \frac{160}{26} \approx 6.15 \text{ दिन}$$ में — यानी लगभग 6 दिन और 3.7 घंटे।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
जवाब दोनों इनपुट से कम क्यों आता है? दो टीमें मिलकर कभी भी तेज़ टीम से धीमी नहीं हो सकतीं, इसलिए संयुक्त समय हमेशा दोनों अकेले के समय में से छोटे वाले से भी कम होता है।
A और B को आपस में बदल दें तो जवाब बदलेगा? नहीं। फ़ॉर्मूला \(a\) और \(b\) में सममित (symmetric) है, इसलिए क्रम से कोई फ़र्क नहीं पड़ता।
क्या मैं घंटे या हफ़्ते इस्तेमाल कर सकता हूँ? बिल्कुल। यह गणित किसी भी इकाई पर चलता है; बस दोनों इनपुट एक ही इकाई में रखें और जवाब को उसी इकाई में पढ़ें।
