Phương pháp Newton là gì?
Phương pháp Newton (còn gọi là Newton-Raphson) là một trong những kỹ thuật nhanh và phổ biến nhất để tìm nghiệm số của một phương trình, tức là giá trị x sao cho \(f(x) = 0\). Xuất phát từ một giá trị dự đoán ban đầu, phương pháp này liên tục vẽ tiếp tuyến với đường cong và dùng giao điểm của tiếp tuyến đó với trục hoành làm giá trị ước lượng tốt hơn cho bước kế tiếp. Khi hoạt động tốt, phương pháp hội tụ bậc hai: số chữ số đúng gần như tăng gấp đôi sau mỗi bước.
Cách dùng máy tính này
Hãy nhập hàm số \(f(x)\) của bạn với \(x\) là biến. Vì công cụ này không tự động lấy đạo hàm, bạn phải tự nhập biểu thức đạo hàm giải tích \(f'(x)\). Tiếp theo, chọn giá trị khởi đầu \(x_0\) và số lần lặp tối đa. Máy tính sẽ trả về nghiệm gần đúng, giá trị của f tại nghiệm đó (giá trị này phải gần bằng 0 để xác nhận đã hội tụ), số lần lặp đã thực hiện, cùng bảng lịch sử từng bước. Cú pháp được hỗ trợ: + - * / ^ cho lũy thừa, dấu ngoặc, các hàm sin, cos, tan, asin, acos, atan, exp, ln, log, sqrt, abs, và các hằng số pi cùng e. Các hàm lượng giác dùng đơn vị radian.
Giải thích công thức
Công thức cập nhật là
$$x_{n+1} = x_{n} - \frac{f(x_{n})}{f^{\prime}(x_{n})}$$Mỗi lần lặp tính giá trị hàm số và độ dốc tại điểm hiện tại, rồi dịch chuyển về phía giao điểm của tiếp tuyến với trục hoành. Nếu đạo hàm bằng 0 tại bất kỳ bước nào, tiếp tuyến nằm ngang và phương pháp sẽ thất bại với lỗi chia cho 0.
Ví dụ minh họa
Lấy \(f(x) = x - \cos(x)\) với đạo hàm \(f'(x) = 1 + \sin(x)\) và \(x_0 = 1\). Bước 1 cho
$$x_1 = 1 - \frac{1 - \cos 1}{1 + \sin 1} = 0{,}75034$$Bước 2 cho 0,73912, bước 3 cho 0,73909, và chỉ sau vài lần lặp, kết quả ổn định tại \(x = 0{,}7390851332151607\) — chính là "số Dottie" nổi tiếng, nơi \(x = \cos x\). Tại điểm đó, \(f(x)\) gần như bằng 0.
Câu hỏi thường gặp
Tại sao tôi phải tự nhập đạo hàm? Công cụ này chỉ tính giá trị biểu thức chứ không thực hiện đạo hàm ký hiệu, nên bạn phải nhập \(f'(x)\) thủ công. Một đạo hàm sai sẽ cho nghiệm sai hoặc khiến phương pháp phân kỳ.
Vì sao kết quả không hội tụ? Phương pháp Newton có thể phân kỳ hoặc dao động khi chọn giá trị khởi đầu không tốt, khi gần điểm uốn, hoặc khi không tồn tại nghiệm thực. Hãy thử một giá trị \(x_0\) khác hoặc tăng số lần lặp.
Khi có nhiều nghiệm thì tôi sẽ nhận được nghiệm nào? Nghiệm tìm được phụ thuộc vào giá trị khởi đầu \(x_0\); hãy chọn giá trị gần với nghiệm mà bạn muốn tìm.
