Что такое метод Ньютона?
Метод Ньютона (его также называют методом Ньютона-Рафсона) — один из самых быстрых и популярных способов численно найти корень уравнения, то есть такое значение x, при котором \(f(x) = 0\). Начиная с некоторого начального приближения, метод раз за разом проводит касательную к графику функции и берёт точку её пересечения с осью x как следующую, более точную оценку корня. Когда метод работает, он сходится квадратично: число верных знаков примерно удваивается с каждым шагом.
Как пользоваться калькулятором
Введите функцию \(f(x)\), используя x в качестве переменной. Калькулятор не вычисляет производную автоматически, поэтому аналитическую производную \(f'(x)\) нужно задать самостоятельно. Укажите начальное приближение \(x_0\) и максимальное число итераций. В ответе вы получите приближённое значение корня, значение f в этой точке (оно должно быть близко к нулю — это подтверждает сходимость), количество выполненных итераций и пошаговую таблицу истории. Поддерживаемый синтаксис: + - * / ^ для возведения в степень, скобки, функции sin, cos, tan, asin, acos, atan, exp, ln, log, sqrt, abs, а также константы pi и e. Тригонометрические функции работают в радианах.
Разбор формулы
Формула пересчёта выглядит так:
$$x_{n+1} = x_{n} - \frac{f(x_{n})}{f^{\prime}(x_{n})}$$На каждой итерации вычисляются значение функции и её наклон в текущей точке, после чего делается шаг к точке пересечения касательной с осью x. Если на каком-то шаге производная обращается в ноль, касательная становится горизонтальной, и метод завершается с ошибкой деления на ноль.
Пример с решением
Возьмём \(f(x) = x - \cos(x)\) с производной \(f'(x) = 1 + \sin(x)\) и \(x_0 = 1\). Первый шаг даёт
$$x_1 = 1 - \frac{1 - \cos 1}{1 + \sin 1} = 0{,}75034$$Второй шаг — 0,73912, третий — 0,73909, и уже через несколько итераций метод выходит на значение \(x = 0{,}7390851332151607\) — знаменитое «число Дотти», для которого \(x = \cos x\). В этой точке \(f(x)\) практически равно нулю.
Частые вопросы
Зачем мне вводить производную? Калькулятор вычисляет выражения, но не выполняет символьное дифференцирование, поэтому \(f'(x)\) вы задаёте вручную. Неверно указанная производная приведёт к ошибочному корню или к расходимости.
Почему метод не сошёлся? Метод Ньютона может расходиться или зацикливаться при неудачном начальном приближении, вблизи точек перегиба или когда действительного корня попросту нет. Попробуйте другое значение \(x_0\) или увеличьте лимит итераций.
Какой корень я получу, если их несколько? Найденный корень зависит от начального приближения \(x_0\): выбирайте значение, близкое к тому корню, который вам нужен.
