¿Qué es el problema de exceso y defecto?
El problema de exceso y defecto (conocido en las matemáticas escolares japonesas como «kabusoku-zan») es un acertijo aritmético clásico: un grupo de personas reparte una cantidad fija de objetos de dos maneras distintas. En el primer caso, cada persona recibe cierto número de objetos y sobran algunos (exceso) o faltan (defecto); en el segundo caso, cada persona recibe un número diferente y, de nuevo, sobran o faltan unidades. Con estos dos datos se puede averiguar con exactitud cuántas personas hay y cuántos objetos hay en total. Una versión muy típica del enunciado cuenta cómo unos amigos recogen castañas y se las reparten, pero el razonamiento sirve para cualquier problema de reparto.
Cómo usar la calculadora
Introduce los objetos por persona de cada uno de los dos casos y, a continuación, el exceso o defecto resultante en cada uno. Sigue este criterio de signos: un sobrante (exceso) se escribe como número positivo y una escasez (defecto, cuando no alcanza) como número negativo. La calculadora te devolverá el número de personas y el total de objetos, o te avisará si los datos no son coherentes.
La fórmula explicada
Sea \(n\) el número de personas y \(T\) el total de objetos. Cada caso indica que el total es igual a (objetos por persona por el número de personas) más el sobrante con su signo: \(T = \text{ratio}_1 \times n + \text{resultado}_1\) y \(T = \text{ratio}_2 \times n + \text{resultado}_2\). Igualando ambas expresiones y despejando obtenemos
$$n = \frac{\text{resultado}_2 - \text{resultado}_1}{\text{ratio}_1 - \text{ratio}_2}$$Después, \(T = \text{ratio}_1 \times n + \text{resultado}_1\). Los dos ratios deben ser distintos; de lo contrario, no existe una solución única.
Ejemplo resuelto
Cada persona recibe 5 objetos y sobran 3 (ratio1 = 5, resultado1 = +3); si cada una recibe 7 objetos, faltan 3 (ratio2 = 7, resultado2 = −3). Entonces
$$n = \frac{-3 - 3}{5 - 7} = \frac{-6}{-2} = 3 \text{ personas}$$y \(T = 5 \times 3 + 3 = 18\) objetos. Comprobación: \(7 \times 3 - 3 = 18\). Por tanto, 3 personas recogieron 18 castañas.
Preguntas frecuentes
¿Qué ocurre si introduzco ratios iguales? El denominador se vuelve cero y no hay una solución única, así que la calculadora muestra un error.
¿Por qué el resultado debe ser un número entero? Las personas y los objetos se cuentan en unidades enteras; un resultado fraccionario significa que los datos no forman un problema válido.
¿Importa el criterio de signos? Sí. Introduce siempre un exceso como positivo y un defecto como negativo para que las ecuaciones cuadren correctamente.
