과부족산이란?
과부족산(過不足算)은 일본 초등수학에서 다루는 대표적인 산수 문제로, 일정한 개수의 물건을 여러 사람에게 두 가지 방식으로 나눠주는 상황을 다룹니다. 첫 번째 방식에서는 한 사람당 일정 개수를 나눠주었더니 몇 개가 남거나(과잉) 모자라고(부족), 두 번째 방식에서는 한 사람당 다른 개수를 나눠주었더니 또다시 남거나 모자랍니다. 이 두 가지 사실만 알면 사람 수와 전체 물건 수를 정확히 구할 수 있습니다. 흔히 친구들이 밤을 주워 나누는 이야기로 출제되지만, 어떤 분배 문제에든 똑같이 적용됩니다. 참고로 한국 교과서에서는 별도의 단원 명칭으로 다루지 않지만, 연립방정식이나 사고력 문제로 자주 등장합니다.
계산기 사용법
두 가지 상황 각각에 대해 '한 사람당 나눠주는 개수'를 입력한 뒤, 그 결과로 남거나 모자란 수를 입력하세요. 부호 규칙은 간단합니다. 남는 경우(과잉)는 양수로, 모자란 경우(부족)는 음수로 입력합니다. 계산기는 사람 수와 전체 개수를 알려주며, 입력값이 서로 맞지 않으면 오류를 안내합니다.
공식 풀이
사람 수를 \(n\), 전체 개수를 \(T\)라고 합시다. 각 상황에서 전체 개수는 '한 사람당 개수 × 사람 수'에 남거나 모자란 수(부호 포함)를 더한 값과 같습니다. 즉 \(T = \text{비율}_1 \times n + \text{결과}_1\), \(T = \text{비율}_2 \times n + \text{결과}_2\) 입니다. 이 두 식을 같다고 놓고 풀면
$$n = \frac{\text{결과}_2 - \text{결과}_1}{\text{비율}_1 - \text{비율}_2}$$가 됩니다. 이어서 \(T = \text{비율}_1 \times n + \text{결과}_1\)로 전체 개수를 구합니다. 단, 두 비율은 반드시 서로 달라야 하며, 그렇지 않으면 유일한 답이 나오지 않습니다.
예제 풀이
한 사람당 5개씩 나눠주면 3개가 남고(비율1 = 5, 결과1 = +3), 7개씩 나눠주면 3개가 모자랍니다(비율2 = 7, 결과2 = −3). 그러면
$$n = \frac{-3 - 3}{5 - 7} = \frac{-6}{-2} = 3 \text{명}$$전체 개수는
$$T = 5 \times 3 + 3 = 18 \text{개}$$입니다. 확인해 보면 \(7 \times 3 - 3 = 18\)로 일치합니다. 따라서 3명이 밤 18개를 주운 셈입니다.
자주 묻는 질문
두 비율을 똑같이 입력하면 어떻게 되나요? 분모가 0이 되어 유일한 해가 존재하지 않으므로, 계산기가 오류를 표시합니다.
왜 답이 정수여야 하나요? 사람과 물건은 모두 자연수로 세는 대상입니다. 결과가 소수로 나온다면 입력값이 올바른 문제를 이루지 못한다는 뜻입니다.
부호 규칙이 정말 중요한가요? 네. 남는 수는 항상 양수로, 모자란 수는 항상 음수로 입력해야 식이 올바르게 맞아떨어집니다.
