À quoi sert ce calculateur
Cet outil recherche une racine d'une équation — une valeur de \(x\) pour laquelle \(f(x) = 0\) — à l'aide d'une méthode de Newton sans dérivée, également appelée itération de Steffensen. La méthode de Newton classique nécessite la dérivée première analytique \(f'(x)\) ; cette variante remplace la dérivée par une estimation en différence finie progressive construite uniquement à partir d'évaluations de la fonction. Vous n'avez donc jamais à dériver à la main. C'est un outil purement mathématique qui fonctionne pour n'importe quelle fonction réelle à une seule variable.
Comment l'utiliser
Saisissez votre fonction dans le champ f(x) en utilisant la variable \(x\). Vous pouvez employer + - * / ^, des parenthèses, les constantes pi et e, ainsi que les fonctions usuelles : sin, cos, tan, asin, acos, atan, sinh, cosh, tanh, exp, ln, log, log10, sqrt, abs. Les fonctions trigonométriques s'expriment en radians. Définissez x0, l'estimation initiale (le résultat en dépend), choisissez le nombre maximal d'itérations n, puis lisez la racine obtenue, le résidu \(f(x)\) et le nombre d'itérations nécessaires.
La formule expliquée
La règle de mise à jour est $$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)^2}{f\!\left(x_n + f(x_n)\right) - f(x_n)}.$$ Elle découle du pas de Newton standard \(x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n)\), où \(f'(x_n)\) est approchée par une différence finie progressive avec un pas \(h = f(x_n)\). En remplaçant cette estimation, on obtient la formule ci-dessus. À proximité d'une racine simple, la convergence est à peu près quadratique, comme pour la véritable méthode de Newton, mais en n'utilisant que les valeurs de la fonction.
Exemple résolu
Pour \(f(x) = x - \cos(x)\) avec \(x0 = 1\) : la première itération donne \(f(1) = 0{,}45970\), le point d'essai \(f(1{,}45970) = 1{,}34861\), le dénominateur \(0{,}88891\), d'où $$x_1 = 1 - \frac{0{,}45970^2}{0{,}88891} = 0{,}76224.$$ L'itération se stabilise rapidement sur \(x \approx 0{,}7390851332\), la valeur où \(x = \cos(x)\) (le nombre de Dottie), avec \(f(x) \approx 0\).
FAQ
Pourquoi la méthode pourrait-elle ne pas converger ? Une mauvaise estimation initiale peut faire diverger l'itération ou la faire converger vers une autre racine ; et si le dénominateur \(f(x+f(x)) - f(x)\) devient nul, la méthode s'arrête en toute sécurité. Essayez une autre valeur de x0.
Les angles sont-ils en degrés ou en radians ? En radians, la convention mathématique standard. Convertissez avec x*pi/180 si nécessaire.
Ai-je besoin de la dérivée ? Non — c'est tout l'intérêt de cette méthode. Elle estime la pente à partir des seules valeurs de la fonction.
