这个计算器能做什么
本工具用于求解方程的根，也就是让 \(f(x) = 0\) 成立的那个 \(x\) 值，采用的是一种无需导数的牛顿迭代法，也称为 Steffensen 迭代。经典牛顿法需要先算出一阶导数 \(f'(x)\) 的解析表达式；而这个变体用一个仅靠函数取值就能算出的前向差商来替代导数，因此你完全不必手动求导。它是一款纯数学工具，适用于任意单变量实函数。
使用方法
在 f(x) 输入框中用变量 \(x\) 写出你的函数。可以使用 + - * / ^、括号、常数 pi 和 e，以及常见函数：sin, cos, tan, asin, acos, atan, sinh, cosh, tanh, exp, ln, log, log10, sqrt, abs。三角函数使用弧度。设定初始猜测值 x0（结果会因它而异），选择最大迭代次数 n，即可读出收敛得到的根、残差 \(f(x)\) 以及所用的迭代次数。
公式详解
迭代公式为 $$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)^2}{f\!\left(x_n + f(x_n)\right) - f(x_n)}$$ 它来自标准的牛顿迭代步 $$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$ 其中 \(f'(x_n)\) 用步长为 \(h = f(x_n)\) 的前向差商来近似。把这个近似代入，就得到上面的公式。在简单根附近，它的收敛速度大致是二阶的，与真正的牛顿法相当，却只用到函数值。
实例演算
对 \(f(x) = x - \cos(x)\)，取 \(x_0 = 1\)：第 1 次迭代得 \(f(1) = 0.45970\)，探测点 \(f(1.45970) = 1.34861\)，分母为 \(0.88891\)，于是 $$x_1 = 1 - \frac{0.45970^2}{0.88891} = 0.76224$$ 迭代很快收敛到 \(x \approx 0.7390851332\)，即满足 \(x = \cos(x)\) 的那个值（也就是 Dottie 数），此时 \(f(x) \approx 0\)。
常见问题
为什么有时无法收敛？初始猜测值选得不好可能导致发散，或者收敛到另一个根；如果分母 \(f(x+f(x)) - f(x)\) 变为零，方法会安全地停止。这时换一个 x0 试试即可。
角度用度还是弧度？用弧度，这是数学中的标准约定。如果需要，可用 x*pi/180 进行换算。
需要提供导数吗？不需要——这正是本方法的优势所在。它仅凭函数值就能估算出斜率。
