結果

使 f(x) = 0 的根 x

0.73908513321516

Converged

實際迭代次數	5
殘差 f(x)	0.000000000000003
方法	免導數牛頓法（Steffensen 型）

這個計算器的功能

這個工具會求出方程式的根——也就是讓 $f(x) = 0$ 成立的 $x$ 值——所採用的是免導數牛頓法，又稱為 Steffensen 迭代法。傳統牛頓法需要解析的一階導數 $f'(x)$；而此變體則改用「向前差分」來估算斜率，整個過程只需計算函數值，因此你完全不必動手求導。它是一套純粹的數學工具，適用於任何單變數實函數。

使用方式

在 f(x) 欄位中以變數 $x$ 輸入你的函數。可使用 + - * / ^、括號、常數 pi 與 e，以及常見函數：sin、cos、tan、asin、acos、atan、sinh、cosh、tanh、exp、ln、log、log10、sqrt、abs。三角函數一律以弧度（radian）計算。接著設定初始猜測值 x0（結果會受其影響）、選擇最大迭代次數 n，即可讀出收斂後的根、殘差 $f(x)$，以及實際所需的迭代次數。

公式說明

迭代更新式為 $$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)^2}{f\!\left(x_n + f(x_n)\right) - f(x_n)}$$ 它源自標準的牛頓步 $x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n)$，其中 $f'(x_n)$ 以步長 $h = f(x_n)$ 的向前差分來近似。將這個估算值代入後，便得到上方的公式。在單根附近，它的收斂速度大致為二次（quadratic），與真正的牛頓法相當，卻只用到函數值。

曲線 f(x) 與 x 軸相交，迭代點收斂到根 — 每個斯特芬森步驟都用割線斜率向 f(x)=0 的根逼近。

實例演練

以 $f(x) = x - \cos(x)$、$x_0 = 1$ 為例：第 1 次迭代得 $f(1) = 0.45970$，探測點 $f(1.45970) = 1.34861$，分母為 $0.88891$，因此 $$x_1 = 1 - \frac{0.45970^2}{0.88891} = 0.76224$$ 迭代很快便收斂到 $x \approx 0.7390851332$，也就是滿足 $x = \cos(x)$ 的數值（即「Dottie 數」），此時 $f(x) \approx 0$。