什么是哈雷法？
哈雷法（Halley's method）是一种用于求解 \(f(x) = 0\) 形式方程的迭代数值方法。它可以看作牛顿—拉夫森法（Newton-Raphson）的「三阶（立方收敛）升级版」：牛顿法只用到函数本身及其一阶导数，而哈雷法额外引入了二阶导数，因此通常能用更少的迭代次数达到相同的精度。这是一种通用的数学／数值分析工具，适用于任何场景；三角函数中的角度一律按弧度（radian）处理。
使用方法
首先在 \(f(x)\) 中输入你要求根的函数，然后分别填入它的一阶导数 \(f'(x)\) 和二阶导数 \(f''(x)\)，三者均以含 \(x\) 的表达式形式书写。支持的语法包括：加减乘除 +、-、*、/，乘方运算符 ^，括号，以及 sin、cos、tan、asin、acos、atan、sinh、cosh、tanh、exp、log/ln、log10、sqrt、abs 等函数，还可使用常数 pi 和 e。接着选一个接近目标根的初始猜测值 \(x_0\)，设定最大迭代次数 \(n\)，并指定结果显示的有效数字位数。
公式解析
每一步的迭代公式为 $$x_{n+1} = x_n - \frac{2\,f(x_n)\,f'(x_n)}{2\,[f'(x_n)]^2 - f(x_n)\,f''(x_n)}$$ 分子相当于（缩放后的）牛顿法修正项，而分母中多出的 \(-\,f(x_n)\,f''(x_n)\) 一项则对函数 \(f\) 的曲率进行了修正，从而加快收敛速度。当 \(x\) 的变化量或残差 \(f(x)\) 小于一个极小的容差，或达到最大迭代次数时，循环就会停止。如果分母变为零，该方法会失效，此时应换一个不同的 \(x_0\) 重试。
计算示例
取 \(f(x) = x - \cos(x)\)，则 \(f'(x) = 1 + \sin(x)\)，\(f''(x) = \cos(x)\)，从 \(x_0 = 1\) 出发：第一步得到 $$x_1 = 1 - \frac{2 \times 0.4596977 \times 1.8414710}{2 \times 1.8414710^2 - 0.4596977 \times 0.5403023} = 1 - \frac{1.6930504}{6.5336550} = 0.7408769$$ 迭代很快就收敛到「Dottie 数」\(x = 0.7390851332151607\)，这正是方程 \(x = \cos(x)\) 的唯一解。
常见问题
哈雷法和牛顿法有什么区别？牛顿法忽略了曲率信息，而哈雷法加入了二阶导数项，因此收敛阶为三阶（立方）而非二阶（平方），通常每多算出一位正确数字所需的迭代次数更少。
为什么一定要手动输入导数？本计算器完全依赖你提供的导数。如果导数写错，收敛会变慢甚至失败。请仔细对 \(f(x)\) 求导，得到准确的 \(f'(x)\) 和 \(f''(x)\)。
如果不收敛怎么办？该方法找到的是离 \(x_0\) 最近的那个根。初始值选得不好可能导致发散，或者收敛到另一个根；而分母趋于零则会直接中断迭代。遇到问题时，请尝试更换 \(x_0\)，或检查导数表达式是否正确。
