Công cụ này làm gì
Công cụ này lập bảng và phân tích parabol đứng dạng chuẩn có đỉnh nằm tại gốc tọa độ (0, 0) và tiêu điểm nằm trên trục y tại điểm (0, f). Phương trình của nó là \(x^2 = 4fy\), hay viết ở dạng tường minh là \(y = \dfrac{x^2}{4f}\). Vì được xây dựng hoàn toàn từ hình học giải tích, công cụ cho kết quả như nhau ở mọi nơi — mọi đại lượng đều là số thực không thứ nguyên, tính theo cùng một đơn vị độ dài.
Cách sử dụng
Nhập khoảng cách tiêu điểm f (tung độ của tiêu điểm), sau đó chọn khoảng giá trị x cần lấy mẫu bằng cách đặt giá trị nhỏ nhất, lớn nhất và số dòng của bảng. Công cụ sẽ lấy mẫu x cách đều từ xMin đến xMax và trả về từng cặp (x, y), kèm theo phương trình parabol, đường chuẩn, tiêu cự và dây cung tiêu. Khi f dương, parabol mở lên trên; khi f âm, parabol mở xuống dưới.
Giải thích công thức
Parabol là tập hợp các điểm cách đều một tiêu điểm và một đường chuẩn. Đặt tiêu điểm tại (0, f) và đường chuẩn là \(y = -f\), cho hai khoảng cách bằng nhau rồi bình phương hai vế ta được \(x^2 = 4fy\). Bước lấy mẫu là \(\text{step} = \dfrac{\text{xMax} - \text{xMin}}{\text{numPoints} - 1}\) và mỗi điểm được tính bằng \(x_i = \text{xMin} + i \cdot \text{step}\), \(y_i = \dfrac{x_i^2}{4f}\). Dây cung tiêu đầy đủ (latus rectum) có độ dài \(|4f|\), còn nửa dây cung tiêu (semi-latus rectum) là \(|2f|\).
Ví dụ minh họa
Với f = 1, xMin = -2, xMax = 2 và 5 điểm, bước lấy mẫu là $$\frac{2 - (-2)}{5-1} = 1,$$ cho ta x = -2, -1, 0, 1, 2. Dùng \(y = \dfrac{x^2}{4}\) ta được y = 1; 0,25; 0; 0,25; 1. Phương trình là \(y = \dfrac{x^2}{4}\), đường chuẩn là \(y = -1\), tiêu cự là 1 và dây cung tiêu là 4 — với hai đầu mút (-2, 1) và (2, 1) khớp đúng với các dòng x = ±2.
Câu hỏi thường gặp
Vì sao f phải khác 0? Nếu f = 0, công thức sẽ chia cho 0 và tiêu điểm trùng với đỉnh, khiến parabol suy biến. Công cụ sẽ từ chối trường hợp này.
f liên hệ với \(y = a \cdot x^2\) như thế nào? So sánh \(y = a x^2\) với \(y = \dfrac{x^2}{4f}\) ta có \(a = \dfrac{1}{4f}\), suy ra \(f = \dfrac{1}{4a}\).
Bảng có luôn đối xứng không? Có — vì y chỉ phụ thuộc vào \(x^2\), nên một khoảng x đối xứng sẽ tạo ra cột y đối xứng.
