यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल x के मानों की किसी रेंज पर चार आपस में जुड़ी राशियों में से किसी एक की टेबल — और एक लाइन ग्राफ — बनाता है: फैक्टोरियल x!, इसका प्राकृतिक लघुगणक ln(x!), डबल फैक्टोरियल x!!, या इसका प्राकृतिक लघुगणक ln(x!!)। यह विशुद्ध गणित है और दुनिया भर में एक समान लागू होता है; इसमें कोई इकाई या देश-विशेष नियम शामिल नहीं हैं।
इसका उपयोग कैसे करें
ड्रॉपडाउन से कोई एक फ़ंक्शन चुनें, फिर रेंज की शुरुआत (Range x from), अंत (Range x to) और Increment (स्टेप) दर्ज करें। पंक्तियाँ \(x = \text{from},\ \text{from}+\text{step},\ \text{from}+2\cdot\text{step}, \ldots\) से ऊपरी सीमा तक (उसे शामिल करते हुए) बनाई जाती हैं। स्टेप शून्य से बड़ा होना चाहिए, और टेबल को संभालने योग्य रखने के लिए अधिकतम 101 पंक्तियाँ ही बनती हैं।
सूत्र की व्याख्या
फैक्टोरियल गुणनफल \(1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot x\) है, जिसमें \(0! = 1\) होता है। बड़े मानों और निरंतर ग्राफ़ की सुविधा के लिए इसे गामा फ़ंक्शन के रूप में निकाला जाता है, $$x! = \Gamma(x+1) = \prod_{k=1}^{x} k$$ और लघुगणक के लिए log-gamma फ़ंक्शन \(\ln(x!) = \ln\Gamma(x+1)\) का उपयोग होता है ताकि बहुत बड़ी संख्याएँ कभी ओवरफ़्लो न करें। डबल फैक्टोरियल हर दूसरे पद को गुणा करता है: \(6!! = 6\cdot 4\cdot 2 = 48\), जबकि \(5!! = 5\cdot 3\cdot 1 = 15\)। आधार स्थितियाँ हैं \(0!! = 1\), \(1!! = 1\) और \((-1)!! = 1\)। ऋणात्मक पूर्णांकों पर फैक्टोरियल अपरिभाषित रहता है (वहाँ गामा के ध्रुव होते हैं), इसलिए उन पंक्तियों में "undefined" दिखता है।
हल किया गया उदाहरण
x! को 0 से 6 की रेंज और स्टेप 1 के साथ चुनने पर सात पंक्तियाँ मिलती हैं: $$0!=1,\quad 1!=1,\quad 2!=2,\quad 3!=6,\quad 4!=24,\quad 5!=120,\quad 6!=720$$ ln(x!) पर स्विच करने पर x=6 के लिए \(\ln(720) \approx 6.5793\) मिलता है, और ln(x!!) पर x=5 के लिए \(\ln(15) \approx 2.7081\) मिलता है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
क्या x एक भिन्न (फ्रैक्शन) हो सकता है? हाँ। गैर-पूर्णांक मान गामा-आधारित निरंतर रूपों का उपयोग करते हैं, इसलिए वक्र चिकना (smooth) रहता है।
किसी पंक्ति में "infinity" क्यों दिखता है? फैक्टोरियल बेहद तेज़ी से बढ़ते हैं (\(70! \approx 1.2\times 10^{100}\)); जब कोई मान डबल प्रिसिज़न से अधिक हो जाता है तो उसे infinity के रूप में चिह्नित कर दिया जाता है — इसके बजाय ln वाला रूप उपयोग करें, जो परिमित रहता है।
101 पंक्तियों की सीमा क्यों है? बेकाबू होती टेबल को रोकने के लिए; इसमें फ़िट करने हेतु रेंज को छोटा करें या स्टेप बढ़ाएँ।
