यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल किसी लघुगणक फलन के लिए x के मानों की एक रेंज पर मानों की तालिका और ग्राफ तैयार करता है। आप प्राकृतिक लघुगणक \(\ln(x)\) (आधार \(e\)), सामान्य लघुगणक \(\log(x)\) (आधार 10), या किसी भी आधार \(a\) वाला लघुगणक चुन सकते हैं, जिसे \(\log_a(x)\) लिखा जाता है। आपके शुरुआती मान से अंतिम मान तक एक निश्चित वृद्धि के अनुसार बढ़ते हर \(x\) के लिए यह \(y = f(x)\) की गणना करता है, \((x, y)\) जोड़ों की सूची बनाता है, और परिणामी वक्र को प्लॉट करता है।
इसका उपयोग कैसे करें
ड्रॉपडाउन से फलन चुनें। यदि आप \(\log_a(x)\) चुनते हैं, तो आधार \(a\) दर्ज करें (यह 0 से बड़ा और 1 के बराबर नहीं होना चाहिए)। "रेंज x (से)" और "रेंज x (तक)" के साथ "वृद्धि" (स्टेप) सेट करें। तय करें कि कितने सार्थक अंक (significant digits) दिखाने हैं। कैलकुलेटर पूरी रेंज पर चलता है और किसी भी ऐसे \(x\) मान को छोड़ देता है जो शून्य या ऋणात्मक हो, क्योंकि वहाँ लघुगणक परिभाषित नहीं होता। टूल को तेज़ बनाए रखने के लिए तालिका अधिकतम 301 पंक्तियों तक सीमित है।
सूत्र
प्राकृतिक लघुगणक \(y = \ln(x)\), \(e^x\) का प्रतिलोम है। सामान्य लघुगणक $$y = \log_{10}(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(10)}$$ होता है। किसी भी आधार \(a\) के लिए, आधार-परिवर्तन सूत्र देता है $$\log_a(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(a)}$$ आंतरिक रूप से Math.log प्राकृतिक लघुगणक है और Math.log10 आधार 10 वाला लघुगणक है। चूँकि \(a = 1\) होने पर \(\ln(a) = 0\) हो जाता है, इसलिए शून्य से भाग से बचने के लिए ठीक 1 वाले आधार को अस्वीकार कर दिया जाता है।
हल किया गया उदाहरण
\(\log_a(x)\) चुनें जिसमें \(a = 2\), \(x = 1\) से 8 तक, स्टेप 1 हो। आधार-परिवर्तन सूत्र देता है: $$\log_2(1)=0, \quad \log_2(2)=1, \quad \log_2(3)=1.584963, \quad \log_2(4)=2,$$ $$\log_2(5)=2.321928, \quad \log_2(6)=2.584963, \quad \log_2(7)=2.807355, \quad \log_2(8)=3$$ सभी 8 पंक्तियाँ परिभाषित हैं (हर \(x\) धनात्मक है), इसलिए तालिका में 8 पंक्तियाँ और 8 प्लॉट किए गए बिंदु हैं, जिसमें पहला बिंदु \((1, 0)\) पर है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
\(x = 0\) को अपरिभाषित (undefined) क्यों दिखाया जाता है? शून्य का लघुगणक ऋणात्मक अनंत की ओर जाता है, और ऋणात्मक संख्याओं के लघुगणक वास्तविक नहीं होते, इसलिए ऐसी पंक्तियों को अपरिभाषित चिह्नित किया जाता है और प्लॉट नहीं किया जाता; y-अक्ष एक ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी (vertical asymptote) की तरह व्यवहार करती है।
क्या आधार एक भिन्न (fraction) हो सकता है? हाँ। \(0 < a < 1\) वाला कोई भी \(a\) (जैसे 0.5) मान्य है और एक घटता हुआ वक्र बनाता है। केवल \(a = 1\) और \(a \le 0\) की अनुमति नहीं है।
"सार्थक अंक" से क्या बदलता है? यह केवल इस बात को प्रभावित करता है कि तालिका में कितने अंक दिखाए जाएँ; अंदर की गणना हमेशा पूर्ण डबल-प्रिसीजन में होती है।
