ماذا تفعل هذه الحاسبة
تطابق هذه الأداة نموذج انحدار المنحنى الذي تختاره مع جدول من القراءات المزدوجة (س، ص) باستخدام طريقة المربعات الصغرى. وتعرض لك المعاملات المطابَقة (A وB، إضافةً إلى C في النموذج التربيعي)، ومعامل الارتباط \(r\) الذي يقيس مدى دقة وصف النموذج للبيانات، وقيمةً مقدَّرة محسوبة مباشرةً من المعادلة المطابَقة. وهي أداة رياضية وإحصائية عامة لا ترتبط بقواعد خاصة بأي بلد أو منطقة.
النماذج السبعة
يمكنك الاختيار بين: الخطي (\(\hat{y} = A + B\,x\))، أو اللوغاريتمي (\(\hat{y} = A + B\,\ln x\))، أو الأسي بالأساس e (\(\hat{y} = A\,e^{Bx}\))، أو الأسي بالأساس ab (\(\hat{y} = A\,B^{x}\))، أو القوة (\(\hat{y} = A\,x^{B}\))، أو المعكوس (\(\hat{y} = A + B/x\))، أو التربيعي (\(\hat{y} = A + B\,x + C\,x^{2}\)). وتُطابَق جميع النماذج عدا التربيعي عبر تحويلها إلى صورة خطية \(Y = a + b\,X\) ثم تطبيق المربعات الصغرى الاعتيادية؛ أما النموذج التربيعي فيُحَل من معادلاته السوية ذات الأبعاد 3×3.
كيفية الاستخدام
أدخِل قيم س وقيم ص على هيئة قائمتين مفصولتين بفواصل ومتساويتين في الطول، ثم اختر نوع الانحدار، وحدِّد ما إذا كنت تريد تقدير ص من س أم تقدير س من ص، واكتب قيمة المدخل المعلومة. بعدها تعرض الحاسبة المعاملات ومعامل الارتباط \(r\) والقيمة المقدَّرة.
شرح المعادلة
بالنسبة للأزواج بعد التحويل الخطي (X، Y): \(b = S_{xy} / S_{xx}\)، و\(a = \bar{Y} - b\,\bar{X}\)، حيث \(S_{xx} = \sum X^2 - n\bar{X}^2\)، و\(S_{xy} = \sum XY - n\bar{X}\bar{Y}\). ويُحسب الارتباط بالعلاقة $$r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}\cdot S_{yy}}}$$ ثم تُعاد المعاملات إلى صورتها الأصلية بالتعويض العكسي (مثلًا \(A = e^{a}\) في النموذجين الأسي والقوة).
مثال محلول
لِنأخذ \(x = [1,2,3,4,5,6,7]\) و\(y = [3,5,7,8,11,13,14]\) مع مطابقة خطية: نحصل على \(S_{xx} = 28\) و\(S_{xy} = 53\)، ومن ثَمّ $$B = \frac{53}{28} = 1.892857$$ و$$A = 8.714286 - 1.892857\cdot 4 = 1.142857.$$ ويكون الارتباط $$r = \frac{53}{\sqrt{28\cdot 101.4286}} = 0.99453.$$ وعند تقدير ص عند \(x = 64\) نحصل على $$1.142857 + 1.892857\cdot 64 = 122.2857$$ (وهو استقراء يتجاوز نطاق البيانات بكثير).
الأسئلة الشائعة
كيف نفسّر قيمة r؟ على وجه التقريب: \(0.7 < |r| \le 1\) ارتباط قوي، و\(0.4 < |r| < 0.7\) ارتباط متوسط، و\(0.2 < |r| < 0.4\) ارتباط ضعيف، وأقل من \(0.2\) ارتباط مهمَل.
لماذا تُرفض بعض النماذج؟ لأن النموذجين اللوغاريتمي والقوة يتطلبان \(x > 0\)، والنموذجين الأسي والقوة يتطلبان \(y > 0\)، والنموذج المعكوس يتطلب \(x \ne 0\)، وذلك بسبب تحويلات اللوغاريتم أو المقلوب.
هل يمكنني الاستقراء خارج النطاق؟ نعم، لكن التقديرات الواقعة خارج نطاق البيانات المرصودة تُعَدّ استقراءً، ويجب التعامل معها بحذر.
