यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल आपके युग्मित प्रेक्षणों (x, y) की तालिका पर चुने गए वक्र-रिग्रेशन मॉडल को न्यूनतम वर्ग विधि (least squares) के ज़रिए फिट करता है। यह फिट किए गए गुणांक (A, B, और द्विघात के लिए C), सहसंबंध गुणांक r—जो बताता है कि मॉडल डेटा का कितना अच्छा वर्णन करता है—और फिट किए गए समीकरण से सीधे निकाला गया अनुमानित मान देता है। यह एक सर्वमान्य गणित एवं सांख्यिकी टूल है, जिसमें किसी देश-विशेष के नियम लागू नहीं होते।
सात मॉडल
आप इनमें से चुन सकते हैं: रैखिक \(y = A + B\cdot x\), लघुगणकीय \(y = A + B\cdot \ln x\), e-चरघातांकी \(y = A\cdot e^{Bx}\), ab-चरघातांकी \(y = A\cdot B^x\), घात \(y = A\cdot x^B\), व्युत्क्रम \(y = A + B/x\), या द्विघात \(y = A + B\cdot x + C\cdot x^2\)। द्विघात को छोड़कर बाकी सभी को \(Y = a + b\cdot X\) रूप में रैखिक बनाकर साधारण न्यूनतम वर्ग लगाकर फिट किया जाता है; द्विघात को इसके \(3\times 3\) सामान्य समीकरणों से हल किया जाता है।
इसका उपयोग कैसे करें
अपने x मान और y मान बराबर लंबाई की कॉमा-विभाजित सूचियों के रूप में दर्ज करें, रिग्रेशन का प्रकार चुनें, तय करें कि आपको x से y का अनुमान चाहिए या y से x का, और ज्ञात इनपुट मान टाइप करें। कैलकुलेटर गुणांक, सहसंबंध r और अनुमान लौटा देगा।
सूत्र की व्याख्या
रैखिक बनाए गए युग्मों (X, Y) के लिए:
$$b = \frac{S_{xy}}{S_{xx}} \qquad a = \bar{Y} - b\cdot\bar{X}$$जहाँ
$$S_{xx} = \sum X^2 - n\bar{X}^2 \qquad S_{xy} = \sum XY - n\bar{X}\bar{Y}$$होते हैं। सहसंबंध
$$r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}\cdot S_{yy}}}$$है। इसके बाद गुणांकों को वापस प्रतिस्थापित किया जाता है (उदाहरण के लिए चरघातांकी और घात मॉडलों में \(A = e^a\))।
हल किया गया उदाहरण
x = [1,2,3,4,5,6,7] और y = [3,5,7,8,11,13,14] के लिए रैखिक फिट करने पर: \(S_{xx} = 28\), \(S_{xy} = 53\), इसलिए
$$B = \frac{53}{28} = 1.892857$$और
$$A = 8.714286 - 1.892857\cdot 4 = 1.142857$$सहसंबंध
$$r = \frac{53}{\sqrt{28\cdot 101.4286}} = 0.99453$$है। x = 64 पर y का अनुमान
$$1.142857 + 1.892857\cdot 64 = 122.2857$$आता है (जो डेटा सीमा से कहीं आगे का एक्सट्रापोलेशन है)।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
r की व्याख्या कैसे करें? मोटे तौर पर: \(0.7 < |r| \le 1\) मज़बूत, \(0.4 < |r| < 0.7\) मध्यम, \(0.2 < |r| < 0.4\) कमज़ोर, और \(0.2\) से कम नगण्य सहसंबंध माना जाता है।
कुछ मॉडल अस्वीकार क्यों हो जाते हैं? लघुगणकीय और घात मॉडलों के लिए \(x > 0\) ज़रूरी है, चरघातांकी और घात मॉडलों के लिए \(y > 0\) ज़रूरी है, और व्युत्क्रम के लिए \(x \ne 0\) चाहिए—क्योंकि इनमें ल␘घुगणक या व्युत्क्रम रूपांतरण लगता है।
क्या मैं एक्सट्रापोलेट कर सकता हूँ? हाँ, पर प्रेक्षित डेटा सीमा से बाहर के अनुमान एक्सट्रापोलेशन होते हैं और इन्हें सावधानी से ही लेना चाहिए।
