この計算ツールでできること
このツールは、対になった観測データ（x, y）の表に対して、選んだ曲線回帰モデルを最小二乗法で当てはめます。当てはめた係数（A・B、2次回帰の場合はCも）、モデルがデータをどれだけうまく説明できているかを示す相関係数r、そして当てはめた式から直接求めた推定値を出力します。地域や国ごとのルールに左右されない、汎用的な数学・統計ツールです。
選べる7つのモデル
線形（\(y = A + B\cdot x\)）、対数（\(y = A + B\cdot\ln x\)）、e指数（\(y = A\cdot e^{Bx}\)）、ab指数（\(y = A\cdot B^{x}\)）、累乗（\(y = A\cdot x^{B}\)）、逆数（\(y = A + B/x\)）、2次（\(y = A + B\cdot x + C\cdot x^{2}\)）の中から選択できます。2次以外はすべて \(Y = a + b\cdot X\) の形に線形化したうえで通常の最小二乗法を適用し、2次回帰は\(3\times 3\)の正規方程式を解いて求めます。
使い方
x の値と y の値を、要素数をそろえてカンマ区切りで入力します。回帰の種類を選び、x から y を推定するか y から x を推定するかを指定し、わかっている入力値を入力してください。計算すると、各係数・相関係数r・推定値が表示されます。
計算式の解説
線形化した組（X, Y）について、\(b = S_{xy} / S_{xx}\)、\(a = \bar{Y} - b\cdot\bar{X}\) となります。ここで \(S_{xx} = \sum X^2 - n\bar{X}^2\)、\(S_{xy} = \sum XY - n\bar{X}\bar{Y}\) です。相関係数は $$r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}\cdot S_{yy}}}$$ で求めます。求めた a・b は元の係数へ戻して計算します（たとえば指数モデルや累乗モデルでは \(A = e^{a}\) となります）。
計算例
\(x = [1,2,3,4,5,6,7]\)、\(y = [3,5,7,8,11,13,14]\) を線形回帰で当てはめると、\(S_{xx} = 28\)、\(S_{xy} = 53\) なので、\(B = 53/28 = 1.892857\)、\(A = 8.714286 - 1.892857\cdot 4 = 1.142857\) となります。相関係数は $$r = \frac{53}{\sqrt{28\cdot 101.4286}} = 0.99453$$ です。\(x = 64\) のときの y を推定すると \(1.142857 + 1.892857\cdot 64 = 122.2857\)（データの範囲を大きく超えた外挿）になります。
よくある質問
相関係数rはどう読み取ればよい？ 目安としては、\(0.7 < |r| \le 1\) で強い相関、\(0.4 < |r| < 0.7\) で中程度、\(0.2 < |r| < 0.4\) で弱い相関、0.2 未満ではほとんど相関なしと判断します。
選べないモデルがあるのはなぜ？ 対数・累乗モデルは \(x > 0\)、指数・累乗モデルは \(y > 0\)、逆数モデルは \(x \ne 0\) が必要です。対数や逆数の変換を含むためで、条件を満たさないデータでは計算できません。
データ範囲の外も推定できる？ できますが、観測データの範囲外の値は外挿となるため、結果の扱いには注意が必要です。
