度数付き回帰分析とは？
このツールは、(x, y, 度数) 形式のデータ表に対して7種類の曲線モデルのいずれかを当てはめ、度数を重みとした加重最小二乗法で回帰分析を行います。各データ点はその度数 f の回数だけ計上されるため、繰り返し観測された値ほど結果に比例して反映されます。純粋な数学・統計の計算ツールであり、国や地域を問わず同じ方法で利用できます。
使い方
1行につき1組のデータを x y f の形式（値は半角スペースまたはカンマ区切り）で入力します。度数 f は省略可能で、省略時は 1 として扱われ、0以上である必要があります。回帰の種類と表示する有効桁数を選ぶと、当てはめられた係数 A、B（2次の場合は C も）、回帰式、そして相関係数 \(r\) が表示されます。
計算式
多くのモデルは線形化して計算します。変換後の変数を \(X\), \(Y\)、重みを \(w=f\) とすると、まず \(N=\Sigma w\) を求め、次に $$S_{xx}=\Sigma wX^{2}-\frac{(\Sigma wX)^{2}}{N}$$ $$S_{yy}=\Sigma wY^{2}-\frac{(\Sigma wY)^{2}}{N}$$ $$S_{xy}=\Sigma wXY-\frac{(\Sigma wX)(\Sigma wY)}{N}$$ を計算します。傾き \(b=S_{xy}/S_{xx}\)、切片 \(a=\bar{Y}-b\cdot\bar{X}\)、相関係数 \(r=S_{xy}/\sqrt{S_{xx}\cdot S_{yy}}\) です。係数 \(A\), \(B\) は各モデルごとに逆変換して求めます。2次式 \(y=A+Bx+Cx^{2}\) は加重された \(3\times3\) の正規方程式を解いて当てはめ、その \(r\) は重相関係数 \(\sqrt{R^{2}}\) となります。
計算例
直線モデルで (1,2,1)、(2,3,2)、(3,5,1) のデータの場合：\(N=4\)、\(\Sigma wx=8\)、\(\Sigma wy=13\)、\(\Sigma wx^{2}=18\)、\(\Sigma wxy=29\)、\(\Sigma wy^{2}=47\) となります。したがって \(S_{xx}=2\)、\(S_{xy}=3\)、\(S_{yy}=4.75\) となり、\(B=1.5\)、\(A=0.25\)、\(r=3/\sqrt{9.5}=0.9733\) が得られます。当てはめられた回帰式は $$y = 0.25 + 1.5\cdot x$$ です。
よくある質問
相関係数は何を表しますか？ \(0.7<|r|\le1\) は強い相関、\(0.4<|r|<0.7\) はやや相関あり、\(0.2<|r|<0.4\) は弱い相関、\(0\le|r|<0.2\) はほとんど相関なしと判断します。
なぜ選べないモデルがあるのですか？ 対数回帰と累乗回帰は \(x>0\)、e指数回帰・ab指数回帰・累乗回帰は \(y>0\)、逆数回帰は \(x\ne0\) が必要です（変換に \(\ln\) や \(1/x\) を用いるため）。
有効桁数を変えると答えは変わりますか？ いいえ。表示される桁数が変わるだけで、計算結果そのものは変わりません。
