Что делает этот калькулятор
Инструмент подбирает выбранную модель регрессии к вашей таблице парных наблюдений (x, y) методом наименьших квадратов. Он выдаёт найденные коэффициенты (A, B, а для квадратичной модели ещё и C), коэффициент корреляции \(r\), который показывает, насколько хорошо модель описывает данные, и прогнозное значение, рассчитанное прямо по полученному уравнению. Это универсальный математико-статистический инструмент: никаких региональных правил или ограничений он не учитывает.
Семь моделей
Доступны: линейная \((y = A + B\cdot x)\), логарифмическая \((y = A + B\cdot \ln x)\), e-экспоненциальная \((y = A\cdot e^{Bx})\), ab-экспоненциальная \((y = A\cdot B^x)\), степенная \((y = A\cdot x^B)\), обратная \((y = A + B/x)\) и квадратичная \((y = A + B\cdot x + C\cdot x^2)\). Все модели, кроме квадратичной, подбираются путём линеаризации к виду \(Y = a + b\cdot X\) с последующим применением обычного метода наименьших квадратов; квадратичная же решается из системы из трёх нормальных уравнений (\(3\times 3\)).
Как пользоваться
Введите значения x и значения y списками через запятую одинаковой длины, выберите тип регрессии, укажите, что хотите оценить — y по x или x по y, и впишите известное входное значение. Калькулятор вернёт коэффициенты, корреляцию \(r\) и прогноз.
Разбор формулы
Для линеаризованных пар (X, Y): \(b = S_{xy} / S_{xx}\) и \(a = \bar{Y} - b\cdot \bar{X}\), где \(S_{xx} = \sum X^2 - n\bar{X}^2\) и \(S_{xy} = \sum XY - n\bar{X}\bar{Y}\). Корреляция вычисляется как $$r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}\cdot S_{yy}}}.$$ После этого коэффициенты возвращаются к исходным переменным обратной подстановкой (например, \(A = e^a\) в экспоненциальной и степенной моделях).
Пример с расчётом
Пусть x = [1,2,3,4,5,6,7] и y = [3,5,7,8,11,13,14] при линейной аппроксимации: \(S_{xx} = 28\), \(S_{xy} = 53\), поэтому $$B = \frac{53}{28} = 1{,}892857$$ и $$A = 8{,}714286 - 1{,}892857\cdot 4 = 1{,}142857.$$ Корреляция равна $$r = \frac{53}{\sqrt{28\cdot 101{,}4286}} = 0{,}99453.$$ Прогноз y при x = 64 даёт $$1{,}142857 + 1{,}892857\cdot 64 = 122{,}2857$$ (это экстраполяция далеко за пределы исходного диапазона данных).
Частые вопросы
Как трактовать \(r\)? Приблизительно так: \(0{,}7 < |r| \le 1\) — сильная связь, \(0{,}4 < |r| < 0{,}7\) — умеренная, \(0{,}2 < |r| < 0{,}4\) — слабая, ниже \(0{,}2\) — практически отсутствует.
Почему некоторые модели отклоняются? Логарифмическая и степенная модели требуют \(x > 0\), экспоненциальная и степенная — \(y > 0\), а обратная — \(x \ne 0\), поскольку используются логарифмическое или обратное преобразование.
Можно ли экстраполировать? Да, но прогнозы за пределами наблюдаемого диапазона данных — это экстраполяция, и относиться к ним следует с осторожностью.
