Qu'est-ce que la loi de von Mises ?
La loi de von Mises est l'équivalent circulaire de la loi normale (gaussienne). Elle modélise des angles ou des directions sur un cercle et se caractérise par une direction moyenne \(\mu\) et un paramètre de concentration \(\kappa\). Lorsque \(\kappa\) est grand, la distribution se resserre fortement autour de \(\mu\) ; lorsque \(\kappa = 0\), elle se confond avec la loi uniforme sur le cercle. Ce calculateur est un outil mathématique universel : il s'applique partout et raisonne en radians du début à la fin.
Comment utiliser ce calculateur
Choisissez ce que vous souhaitez obtenir : la densité de probabilité \(f\), la probabilité cumulée inférieure \(P\) (la fonction de répartition) ou la probabilité cumulée supérieure \(Q = 1 - P\). Saisissez la direction moyenne \(\mu\) (en radians), la concentration \(\kappa \geq 0\) et l'angle \(x\) (en radians) où effectuer l'évaluation. Cliquez sur « Calculer » pour afficher les trois grandeurs, celle que vous avez sélectionnée étant mise en évidence.
La formule expliquée
La densité de probabilité s'écrit $$f(\text{x} ; \mu, \kappa) = \frac{e^{\kappa\cos\left(\text{x} - \mu\right)}}{2\pi\, I_{0}\!\left(\kappa\right)}$$ où \(I_0(\kappa)\) désigne la fonction de Bessel modifiée de première espèce d'ordre 0, calculée à partir de la série convergente \(I_0(\kappa) = \sum \frac{(\kappa/2)^{2m}}{(m!)^2}\). La probabilité cumulée \(P(x)\) correspond à l'intégrale de \(f\) depuis \(\mu-\pi\) jusqu'à \(x\) ; elle est obtenue ici par la méthode de Simpson sur 2000 sous-intervalles, après avoir ramené \(z = x - \mu\) dans l'intervalle \([-\pi, \pi]\). Ainsi, \(P\) passe de 0 en \(z = -\pi\) à 1 en \(z = +\pi\). Quant à \(Q\), il vaut tout simplement \(1 - P\).
Exemple résolu
Prenons \(\mu = 0\), \(\kappa = 1\), \(x = 0\). On a alors \(I_0(1) \approx 1{,}2660658778\) et \(\cos(0) = 1\), donc \(e^{1} = 2{,}71828\). La densité vaut $$f = \frac{2{,}71828}{2\pi \cdot 1{,}26607} \approx 0{,}3417 \text{ par radian}.$$ Comme \(f\) est symétrique autour de \(\mu = 0\), exactement la moitié de la masse se situe en dessous de \(x = 0\), ce qui donne \(P(0) = 0{,}5\) et \(Q(0) = 0{,}5\).
FAQ
Dans quelle unité s'exprime la densité ? La densité de probabilité s'exprime en \(1/\text{radian}\), puisque son intégrale vaut 1 sur un cercle de \(2\pi\) radians.
Que se passe-t-il lorsque \(\kappa = 0\) ? La distribution devient uniforme sur le cercle : \(f(x) = \frac{1}{2\pi} \approx 0{,}159155\) pour tout \(x\), et \(P(x)\) croît de façon linéaire.
Puis-je saisir un \(x\) en dehors de \([\mu-\pi, \mu+\pi]\) ? Oui. La densité est \(2\pi\)-périodique en \(x\), et la fonction de répartition ramène \(z = x - \mu\) dans \([-\pi, \pi]\) avant d'intégrer.
