什么是冯·米塞斯分布？
冯·米塞斯分布（von Mises distribution）是正态（高斯）分布在圆周上的对应版本，专门用来描述圆上的角度或方向。它由两个参数决定：平均方向 \(\mu\) 和集中度参数 \(\kappa\)。\(\kappa\) 越大，分布就越集中地聚拢在 \(\mu\) 附近；当 \(\kappa = 0\) 时，它退化为圆周上的均匀分布。这是一个通用的数学工具，不依赖任何国家或地区，全程以弧度（radian）为单位。
如何使用本计算器
先选择你想要计算的量：概率密度 \(f\)、下侧累积概率 \(P\)（即 CDF），或上侧累积概率 \(Q = 1 - P\)。然后输入平均方向 \(\mu\)（弧度）、集中度 \(\kappa \ge 0\)，以及要计算的角度 \(x\)（弧度）。点击「计算」即可得到这三个量的结果，其中你所选择的量会被高亮显示。
公式详解
概率密度函数为 $$f(x; \mu, \kappa) = \frac{e^{\kappa\cos\left(x - \mu\right)}}{2\pi\, I_{0}\!\left(\kappa\right)}$$ 其中 \(I_0(\kappa)\) 是 0 阶第一类修正贝塞尔函数，由收敛级数 $$I_0(\kappa) = \sum \frac{(\kappa/2)^{2m}}{(m!)^2}$$ 计算得到。累积概率 \(P(x)\) 是 \(f\) 从 \(\mu-\pi\) 到 \(x\) 的积分；本计算器先把 \(z = x - \mu\) 折算（wrap）到区间 \([-\pi, \pi]\)，再用辛普森法则（Simpson's rule）对 2000 个子区间进行数值积分，因此 \(P\) 从 \(z = -\pi\) 处的 0 变化到 \(z = +\pi\) 处的 1。\(Q\) 则简单地等于 \(1 - P\)。
计算实例
取 \(\mu = 0\)、\(\kappa = 1\)、\(x = 0\)。此时 \(I_0(1) \approx 1.2660658778\)，\(\cos(0) = 1\)，所以 \(e^{1} = 2.71828\)。密度为 $$f = \frac{2.71828}{2\pi \cdot 1.26607} \approx 0.3417$$ （每弧度）。由于 \(f\) 关于 \(\mu = 0\) 对称，恰好有一半的概率质量落在 \(x = 0\) 以下，因此 \(P(0) = 0.5\)，\(Q(0) = 0.5\)。
常见问题
密度的单位是什么？概率密度函数（PDF）的单位是 1/弧度，因为它在 \(2\pi\) 弧度的整个圆周上积分等于 1。
当 \(\kappa = 0\) 时会怎样？分布退化为圆周上的均匀分布：对任意 \(x\) 都有 \(f(x) = \frac{1}{2\pi} \approx 0.159155\)，而 \(P(x)\) 随之线性增长。
能输入 \([\mu-\pi, \mu+\pi]\) 之外的 \(x\) 吗？可以。密度函数关于 \(x\) 是以 \(2\pi\) 为周期的，CDF 在积分前会先把 \(z = x - \mu\) 折算到 \([-\pi, \pi]\) 区间内。
